1. (2,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: T r=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
    (b) ( 0,5 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y e i.
    (c) (0,5 ponto) Mostre como um aumento em \theta impacta Y e $i.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo IS-LM com as condições de equilíbrio no mercado de bens e no mercado monetário. O conteúdo envolvido é solução de um sistema linear em (Y,i) por Cramer e análise de comparativos estáticos ( \partial/\partial M^s e \partial/\partial \theta). Vamos primeiro montar as duas equações lineares em Y e i.

Passo 2

Derivamos a equação IS (mercado de bens):
Temos
Y = C + I + G
com
C = \alpha + \beta\bigl(Y - T + Tr\bigr) - \gamma\,i,\quad T=\eta Y,\quad Tr=\theta Y,
I = \mu Y - \varphi\,i.
Substituindo:
Y = \alpha + \beta\bigl(Y - \eta Y + \theta Y\bigr) - \gamma i + \mu Y - \varphi i + G.
Agrupando Y e i:
Y - \bigl[\beta(1-\eta+\theta)+\mu\bigr]Y \;-\;(\gamma+\varphi)\,i = \alpha + G.
Definindo
a_{11} = 1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu,\quad a_{12} = \gamma+\varphi,
ficamos com
a_{11}\,Y \;+\; a_{12}\,i \;=\; \alpha + G.

Passo 3

A equação LM (mercado monetário) é
M^s = \rho\,Y - \lambda\,i.
Reescrevendo em forma padrão:
\rho\,Y \;-\;\lambda\,i = M^s.
Aqui
a_{21} = \rho,\quad a_{22} = -\lambda.

Passo 4

Escrevemos o sistema linear
\begin{cases} a_{11}\,Y + a_{12}\,i = \alpha + G,\\\ a_{21}\,Y + a_{22}\,i = M^s, \end{cases}
com
a_{11}=1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu,\quad a_{12}=\gamma+\varphi,\quad a_{21}=\rho,\quad a_{22}=-\lambda.
Pelo método de Cramer, o determinante principal é
\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}(-\lambda)\;-\;a_{12}\,\rho = -\bigl[a_{11}\lambda + a_{12}\rho\bigr].
Para simplificar, definimos
D = a_{11}\,\lambda + a_{12}\,\rho > 0,
de modo que \Delta = -D.

Passo 5

Calculamos Y e i:
Para Y:
\Delta_Y = \begin{vmatrix} \alpha+G & a_{12}\\\ M^s & a_{22} \end{vmatrix} = (\alpha+G)(-\,\lambda)\;-\;a_{12}\,M^s = -\bigl[\lambda(\alpha+G)+a_{12}M^s\bigr],
Y = \frac{\Delta_Y}{\Delta} = \frac{-\bigl[\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s\bigr]}{-D} = \frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s}{D}.
Para i:
\Delta_i = \begin{vmatrix} a_{11} & \alpha+G\\\ a_{21} & M^s \end{vmatrix} = a_{11}\,M^s \;-\;\rho(\alpha+G),
i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{a_{11}\,M^s - \rho(\alpha+G)}{-D} = \frac{\rho(\alpha+G) - a_{11}\,M^s}{D}.
Portanto
\boxed{ Y = \frac{\lambda(\alpha+G) + (\gamma+\varphi)\,M^s} {\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda + (\gamma+\varphi)\rho}, \quad i = \frac{\rho(\alpha+G)\;-\;\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]M^s} {\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda + (\gamma+\varphi)\rho}. }

Passo 6

(b) Efeito de um aumento de M^s:
Da expressão de Y,
\frac{\partial Y}{\partial M^s} = \frac{\gamma+\varphi}{D} >0.
Da expressão de i,
\frac{\partial i}{\partial M^s} = -\,\frac{1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu}{D} <0.
Logo, um aumento em M^s eleva Y e reduz i.

Passo 7

(c) Efeito de um aumento de \theta:
Observe que D = \bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho e só a primeira parte depende de \theta. Como
\partial a_{11}/\partial\theta = -\beta, resulta \partial D/\partial\theta = -\beta\,\lambda<0. O numerador de Y não muda com \theta, então
\frac{\partial Y}{\partial \theta} = -\,\frac{\bigl[\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s\bigr]\;(-\beta\,\lambda)}{D^2} = \frac{\beta\,\lambda\bigl[\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)M^s\bigr]}{D^2} >0.
Graficamente, \theta\!\uparrow desloca IS para a direita, elevando Y. No caso de i, pode-se mostrar de modo análogo que
\partial i/\partial\theta>0, isto é, o aumento em \theta eleva também a taxa de juros de equilíbrio.

Resposta

Y = \displaystyle \frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)\,M^s} {\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho},
i = \displaystyle \frac{\rho(\alpha+G)-\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\,M^s} {\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho}.
(b) \partial Y/\partial M^s>0, \partial i/\partial M^s<0.
(c) \partial Y/\partial \theta>0, \partial i/\partial \theta>0.

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