Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
Transferências: T r=\theta Y, 0<\theta<\eta;
Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
Todos os parâmetros são estritamente positivos.
(a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
(b) ( 0,5 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y e i.
(c) (0,5 ponto) Mostre como um aumento em \theta impacta Y e $i.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo IS-LM com as condições de equilíbrio no mercado de bens e no mercado monetário. O conteúdo envolvido é solução de um sistema linear em (Y,i) por Cramer e análise de comparativos estáticos (\partial/\partial M^s e \partial/\partial \theta). Vamos primeiro montar as duas equações lineares em Y e i.
Passo 2
Derivamos a equação IS (mercado de bens):
Temos
Y = C + I + G
com
C = \alpha + \beta\bigl(Y - T + Tr\bigr) - \gamma\,i,\quad T=\eta Y,\quad Tr=\theta Y,
I = \mu Y - \varphi\,i.
Substituindo:
Y = \alpha + \beta\bigl(Y - \eta Y + \theta Y\bigr) - \gamma i + \mu Y - \varphi i + G.
Agrupando Y e i:
Y - \bigl[\beta(1-\eta+\theta)+\mu\bigr]Y \;-\;(\gamma+\varphi)\,i = \alpha + G.
Observe que D = \bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho e só a primeira parte depende de \theta. Como \partial a_{11}/\partial\theta = -\beta, resulta \partial D/\partial\theta = -\beta\,\lambda<0. O numerador de Y não muda com \theta, então
Graficamente, \theta\!\uparrow desloca IS para a direita, elevando Y. No caso de i, pode-se mostrar de modo análogo que \partial i/\partial\theta>0, isto é, o aumento em \theta eleva também a taxa de juros de equilíbrio.
Resposta
Y = \displaystyle \frac{\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)\,M^s}
{\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho},
i = \displaystyle \frac{\rho(\alpha+G)-\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\,M^s}
{\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta)-\mu\bigr]\lambda +(\gamma+\varphi)\rho}.