1. (1,5 ponto) Seja uma economia habitada por N indivíduos, indexados por i=1, \ldots, N. Nesta economia existem três bens, cujos preços são p_{1}, p_{2} e p_{3}. O indivíduo i \in\{1, \ldots, N\} possui dotação (exógena) e_{l}^{i} do bem l \in\{1,2,3\}. A demanda do indivíduo i pelo bem l é dada por:
x_{l}^{i}=\frac{p_{1} e_{1}^{i}+p_{2} e_{2}^{i}+p_{3} e_{3}^{i}}{p_{1}+p_{2}+p_{3}}
O mercado do bem l está em equilíbrio quando a sua demanda é igual à sua oferta, ou seja:
\sum_{i=1}^{N} x_{l}^{i}=\sum_{i=1}^{N} e_{l}^{i} \equiv e_{l} .
Com base nessas informações, e tendo em mente que os sobrescritos acima são índices ao invés de expoentes, responda:
(a) (1,0 ponto) Existe um vetor de preços \mathbf{p}=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) que equilibra todos os mercados simult aneamente? Caso esse vetor exista, ele é único? Explique.
(b) ( 0,5 ponto) Que restrição deve ser imposta sobre as dotações iniciais totais ( e_{1}, e_{2}, e_{3} ) para que exista um equilibrio em que p_{1}=p_{2}=p_{3}>0 ?

Passo 1

O enunciado descreve uma economia com N indivíduos e três bens de preços p_{1},p_{2},p_{3}. Cada indivíduo i tem dotação exógena \bigl(e_{1}^{i},e_{2}^{i},e_{3}^{i}\bigr) e demanda
x_{l}^{i} \;=\;\frac{p_{1}e_{1}^{i}+p_{2}e_{2}^{i}+p_{3}e_{3}^{i}}{p_{1}+p_{2}+p_{3}} \quad\text{para }l=1,2,3.
O equilíbrio exige que, para cada bem l,
\sum_{i=1}^{N}x_{l}^{i} \;=\;\sum_{i=1}^{N}e_{l}^{i}\equiv e_{l}.
Vamos verificar sob que condições existe \mathbf p que satisfaça simultaneamente essas três igualdades.

Passo 2

Calculemos a demanda agregada pelo bem l:
\sum_{i=1}^{N}x_{l}^{i} =\sum_{i=1}^{N}\frac{p_{1}e_{1}^{i}+p_{2}e_{2}^{i}+p_{3}e_{3}^{i}}{p_{1}+p_{2}+p_{3}} =\frac{\sum_{i=1}^{N}\bigl(p_{1}e_{1}^{i}+p_{2}e_{2}^{i}+p_{3}e_{3}^{i}\bigr)}{p_{1}+p_{2}+p_{3}}.
Como \sum_{i}p_{1}e_{1}^{i}=p_{1}e_{1} etc., definimos o valor agregado total
M \;=\;p_{1}e_{1}+p_{2}e_{2}+p_{3}e_{3}.
Logo
\sum_{i=1}^{N}x_{l}^{i} =\frac{M}{p_{1}+p_{2}+p_{3}},
independente de l.

Passo 3

Para ter equilíbrio em cada mercado l, precisamos de
\sum_{i=1}^{N}x_{l}^{i}=e_{l},
isto é,
\frac{M}{p_{1}+p_{2}+p_{3}}=e_{l}, \quad\text{para }l=1,2,3.
Isso implica que e_{1}=e_{2}=e_{3}, pois o lado esquerdo não depende de l.

Passo 4

Conclusões sobre existência e unicidade de \mathbf p:
  • Se e_{1}=e_{2}=e_{3}, existe sim equilíbrio de mercado.
  • A condição não fixa um único vetor \mathbf p; apenas fixa a razão
\frac{M}{p_{1}+p_{2}+p_{3}}=e_{1},
mas qualquer \mathbf p positivo (até escala) satisfaz M=(p_{1}+p_{2}+p_{3})e_{1}. Assim, os preços são determinados somente em termos de proporções e não de valores absolutos (equilíbrio de preços único até multiplicação por escalar).

Passo 5

Para a parte (b): se quisermos um equilíbrio em que p_{1}=p_{2}=p_{3}=p>0, então
\sum_{i=1}^{N}x_{l}^{i} =\frac{p(e_{1}+e_{2}+e_{3})}{3p} =\frac{e_{1}+e_{2}+e_{3}}{3}.
Para haver equilíbrio precisamos que
e_{l}=\frac{e_{1}+e_{2}+e_{3}}{3} \quad\text{para }l=1,2,3,
ou seja, e_{1}=e_{2}=e_{3}.

Resposta

(a) Existe vetor de preços de equilíbrio somente se e_{1}=e_{2}=e_{3}. Nesse caso o equilíbrio é determinado apenas pelas proporções de preços, não sendo único em valor absoluto (apenas até multiplicação por escalar).
(b) A restrição é
e_{1}=e_{2}=e_{3}.

Exercícios relacionados