1. (2,0 pontos) Considere o modelo IS-LM abaixo:
  • Equilíbrio no mercado de bens e serviços: Y=C+I+G;
  • Consumo: C=\alpha+\beta(Y-T+T r)-\gamma i, 0<\beta<1;
  • Tributação: T=\eta Y, 0<\eta<1;
  • Transferências: T r=\theta Y, 0<\theta<\eta;
  • Investimento: I=\mu Y-\varphi i;
  • Equilíbrio no mercado monetário: M^{s}=\rho Y-\lambda i;
  • Todos os parâmetros são estritamente positivos.
    (a) ( 1,0 ponto) Use a regra de Cramer para encontrar o produto, Y, e a taxa de juros, i, que equilibram a economia.
    (b) ( 0,5 ponto) Mostre como um aumento em M^{s} impacta Y e i.
    (c) (0,5 ponto) Mostre como um aumento em \theta impacta Y e $i.

Passo 1

O modelo IS-LM dada pelo enunciado é um sistema linear em (Y,i). No mercado de bens temos
Y = C + I + G
com
C = \alpha + \beta\bigl(Y - T + T_r\bigr) - \gamma\,i, \quad T = \eta\,Y, \quad T_r = \theta\,Y, \quad I = \mu\,Y - \varphi\,i.
No mercado monetário temos
M^s = \rho\,Y - \lambda\,i.
(a) Pede usar a regra de Cramer para resolver esse sistema e encontrar Y e i.
(b) e (c) pedem mostrar o sinal de \partial Y/\partial M^s, \partial i/\partial M^s e de \partial Y/\partial\theta, \partial i/\partial\theta.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação IS. Substituindo T=\eta Y e T_r=\theta Y em C e I no lado direito de Y=C+I+G, obtemos após rearranjo
\bigl[\,1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu\bigr]\,Y \;+\; (\gamma+\varphi)\,i \;=\; \alpha + G.
Definimos para simplificar
A = 1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu, \quad B = \gamma + \varphi,
de modo que a IS fique
A\,Y + B\,i = \alpha + G.
A equação LM pode ser escrita como
\rho\,Y - \lambda\,i = M^s.

Passo 3

Aplicando a regra de Cramer ao sistema
\begin{cases} A\,Y + B\,i = \alpha + G,\\\ \rho\,Y - \lambda\,i = M^s, \end{cases}
o determinante comum é
\Delta = \begin{vmatrix} A & B\\\ \rho & -\lambda \end{vmatrix} = -A\,\lambda - B\,\rho = -(A\lambda + B\rho)\neq 0.
Os numeradores são
\Delta_Y = \begin{vmatrix} \alpha+G & B\\\ M^s & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(\alpha+G) - B\,M^s, \quad \Delta_i = \begin{vmatrix} A & \alpha+G\\\ \rho & M^s \end{vmatrix} = A\,M^s - \rho(\alpha+G).
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Y = \frac{\Delta_Y}{\Delta} = \frac{\lambda(\alpha+G) + B\,M^s}{A\lambda + B\rho}, \qquad i = \frac{\Delta_i}{\Delta} = \frac{\rho(\alpha+G) - A\,M^s}{A\lambda + B\rho}.

Passo 4

Para ver o efeito de M^s mantido \theta fixo, derivamos
\frac{\partial Y}{\partial M^s} = \frac{B}{A\lambda + B\rho} \;>\;0, \qquad \frac{\partial i}{\partial M^s} = -\,\frac{A}{A\lambda + B\rho} \;<\;0.
Isto mostra que um aumento em M^s eleva a renda de equilíbrio e reduz a taxa de juros de equilíbrio.

Passo 5

Como A depende de \theta e \partial A/\partial\theta = -\beta, mantido M^s fixo obtemos por derivada implícita
\frac{\partial Y}{\partial \theta} = \frac{-\,(\partial D/\partial\theta)\,\bigl[\lambda(\alpha+G)+B\,M^s\bigr]}{(A\lambda+B\rho)^2} = \frac{\beta\,\lambda\bigl[\lambda(\alpha+G)+B\,M^s\bigr]}{(A\lambda+B\rho)^2} \;>\;0,
\frac{\partial i}{\partial \theta} = \frac{\beta\,\rho\bigl[\lambda(\alpha+G)+B\,M^s\bigr]}{(A\lambda+B\rho)^2} \;>\;0.
Portanto, um aumento em \theta (transferências proporcionais maiores) eleva tanto Y quanto i.

Resposta

Y = \frac{\lambda(\alpha+G) + (\gamma+\varphi)\,M^s}{\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu\bigr]\lambda + (\gamma+\varphi)\rho},
i = \frac{\rho(\alpha+G) - \bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu\bigr]\,M^s}{\bigl[1 - \beta(1-\eta+\theta) - \mu\bigr]\lambda + (\gamma+\varphi)\rho},
\frac{\partial Y}{\partial M^s}=\frac{\gamma+\varphi}{(A\lambda+B\rho)}>0, \quad \frac{\partial i}{\partial M^s}=-\frac{A}{(A\lambda+B\rho)}<0,
\frac{\partial Y}{\partial \theta} =\frac{\beta\,\lambda\bigl[\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)\,M^s\bigr]}{(A\lambda+B\rho)^2}>0, \quad \frac{\partial i}{\partial \theta} =\frac{\beta\,\rho\bigl[\lambda(\alpha+G)+(\gamma+\varphi)\,M^s\bigr]}{(A\lambda+B\rho)^2}>0.
onde A=1-\beta(1-\eta+\theta)-\mu e B=\gamma+\varphi.

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