3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^infty(x+5)^n-1n^2
centrada em x0=-5. O conteúdo aqui é determinar o raio de convergência usando o critério da razão (ou de Cauchy–Hadamard) e depois testar as extremidades do intervalo.

Passo 2

Seja
an=(x+5)^n-1n^2
Aplicamos o critério da razão:
L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x+5)^n(n+1)^2cdotn^2(x+5)^,n-1| =limntoinfty|x+5|n^2(n+1)^2 =|x+5|

Passo 3

Pelo critério da razão, a série converge se L<1, isto é
|x+5|<1
Logo o raio de convergência é R=1 e o intervalo aberto associado é
-6<x<-4

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Em x=-6: temos x+5=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^2,
que converge absolutamente pois sum 1/n^2 é convergente.
Em x=-4: temos x+5=1 e a série fica
sumn=1^infty1n^2,
que também converge (série p com p=2>1).

Resposta

O intervalo de convergência é
[-6,,-4]

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