A função
em modulo definida para 0 menor ou igual a
e menor igual a 2 admite algum ponto de máximo ou de mínimo?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a função
definida no intervalo de
entre 0 e 2. O objetivo é descobrir se essa função tem algum ponto de máximo ou de mínimo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções absolutas e analisar como a função se comporta nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função absoluta
. A função absoluta retorna o valor positivo de
ou
, dependendo do valor de
. Isso cria uma “V” no gráfico da função, com o ponto mais baixo ou mais alto dependendo do que está dentro do módulo.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função
sem o módulo para facilitar a análise:
Dependendo do valor de
, temos duas situações:
- Se
, então , então:
- Se
, então , então:
Passo 4
Vamos analisar cada parte da função separadamente:
- Para
, é uma reta crescente. - Para
, é uma reta decrescente.
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 6
Observando os valores calculados:
- O valor máximo da função é 2, que ocorre em
. - Os valores mínimos são 1, que ocorrem tanto em
quanto em .
Resposta
A função
definida para
possui um ponto de máximo em
com
e pontos de mínimo em
e
com
.