A função f(x)=2-(1-x) em modulo definida para 0 menor ou igual a x e menor igual a 2 admite algum ponto de máximo ou de mínimo?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a função f(x) = 2 - |1 - x| definida no intervalo de x entre 0 e 2. O objetivo é descobrir se essa função tem algum ponto de máximo ou de mínimo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções absolutas e analisar como a função se comporta nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função absoluta |1 - x| . A função absoluta retorna o valor positivo de 1 - x ou x - 1 , dependendo do valor de x . Isso cria uma “V” no gráfico da função, com o ponto mais baixo ou mais alto dependendo do que está dentro do módulo.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função f(x) sem o módulo para facilitar a análise:
f(x) = 2 - |1 - x|
Dependendo do valor de x , temos duas situações:
  • Se x <= 1 , então |1 - x| = 1 - x , então:
f(x) = 2 - (1 - x) = 1 + x
  • Se x > 1 , então |1 - x| = x - 1 , então:
f(x) = 2 - (x - 1) = 3 - x

Passo 4

Vamos analisar cada parte da função separadamente:
  • Para 0 <= x <= 1 , f(x) = 1 + x é uma reta crescente.
  • Para 1 < x <= 2 , f(x) = 3 - x é uma reta decrescente.

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  • Em x = 0 :
f(0) = 1 + 0 = 1
  • Em x = 1 :
f(1) = 1 + 1 = 2
  • Em x = 2 :
f(2) = 3 - 2 = 1

Passo 6

Observando os valores calculados:
  • O valor máximo da função é 2, que ocorre em x = 1 .
  • Os valores mínimos são 1, que ocorrem tanto em x = 0 quanto em x = 2 .

Resposta

A função f(x) = 2 - |1 - x| definida para 0 <= x <= 2 possui um ponto de máximo em x = 1 com f(1) = 2 e pontos de mínimo em x = 0 e x = 2 com f(0) = f(2) = 1 .

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