( 1,0 ponto) Seja F(x, y)=y^3+x y+y^3-3. Mostre que existe uma função y=f(x) definida numa vizinhança de x=1 tal que f(1)=1 e calcule $f^{\prime}(1).

Passo 1

Enunciado e teoria: Temos a equação implícita F(x,y)=2y^3 + x y − 3 e queremos mostrar que existe y=f(x) perto de x=1 com f(1)=1, usando o Teorema da Função Implícita. Para aplicá-lo, precisamos que F seja diferenciável e que ∂F/∂y(1,1)≠0.

Passo 2

Verificação das condições: Primeiro, note que F(1,1)=2·1^3 + 1·1 − 3 = 0, portanto o ponto (1,1) satisfaz a equação. Em seguida, calculamos as derivadas parciais:
partial Fpartial y(x,y)=6y^2 + x
Avaliada em (1,1) dá 6·1^2 + 1 = 7 ≠ 0. Assim, a condição do teorema está garantida.

Passo 3

Aplicação do teorema e derivação implícita: Pelo Teorema da Função Implícita existe uma função y=f(x) com f(1)=1 em uma vizinhança de x=1. Para encontrar f’(x), derivamos implicitamente F(x,f(x))=0:
Fx(x,f(x)) + Fy(x,f(x)),f'(x) = 0
Logo
f'(x) = -Fx(x,f(x))Fy(x,f(x))
Aqui, F_x(x,y)=y e F_y(x,y)=6y^2 + x.

Passo 4

Cálculo de f’(1): Substituindo x=1 e y=f(1)=1 na fórmula de f’(x), obtemos
f'(1) = -16·1^2 + 1 = -17

Resposta

f’(1) = -1/7

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