define implicitamente uma função tal que . Verifique que é um ponto de mínimo local de .
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que ela define, por meio do Teorema da Função Implícita, uma função ao redor do ponto , em que de fato
Além disso, vamos usar derivadas parciais de para mostrar que é ponto crítico e, a seguir, analisar o sinal das segundas derivadas para concluir que é mínimo local.
Passo 2
Defina
No ponto temos . Calculamos a derivada parcial em relação a :
e em obtemos .
Pelo Teorema da Função Implícita existe, num entorno desse ponto, uma função satisfazendo e .
Passo 3
Derivando implicitamente em e em , obtemos
No ponto temos e , logo
Portanto é ponto crítico de .
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, calculamos as segundas derivadas em . A forma geral é
e análogo para . Em nosso ponto , e , daí
e do mesmo modo . A derivada mista também se anula em virtude de .
O Hessiano de é, portanto,
que é definido-positivo. Logo l(tfracpi2,tfracpi2r) é ponto de mínimo local de h.
Resposta
A equação define localmente z=h(x,y) com hl(tfracpi2,tfracpi2r)=tfracpi4, e esse ponto é um mínimo local de h.