( 1,5 pontos) Mostre que a equação
sin ^2 x+sin ^2 y+sin ^2 z=52
define implicitamente uma função z=h(x, y) tal que h(pi2, pi2)=pi4. Verifique que (pi2, pi2) é um ponto de mínimo local de h.

Passo 1

O enunciado dá a equação
sin^2x + sin^2y + sin^2z = 52
e pede para mostrar que ela define, por meio do Teorema da Função Implícita, uma função z = h(x,y) ao redor do ponto l(x0,y0,z0r)=l(tfracpi2,tfracpi2,tfracpi4r), em que de fato
sin^2!l(tfracpi2r) + sin^2!l(tfracpi2r) + sin^2!l(tfracpi4r) = 1 + 1 + tfrac12 = 52
Além disso, vamos usar derivadas parciais de h para mostrar que l(tfracpi2,tfracpi2r) é ponto crítico e, a seguir, analisar o sinal das segundas derivadas para concluir que é mínimo local.

Passo 2

Defina
F(x,y,z) = sin^2x + sin^2y + sin^2z - 52
No ponto l(tfracpi2,tfracpi2,tfracpi4r) temos F=0. Calculamos a derivada parcial em relação a z:
Fz(x,y,z) = 2,sin zcos z = sin(2z),
e em z0=tfracpi4 obtemos sinl(2cdottfracpi4r)=sinl(tfracpi2r)=1neq0.
Pelo Teorema da Função Implícita existe, num entorno desse ponto, uma função z=h(x,y) satisfazendo F(x,y,h(x,y))=0 e hl(tfracpi2,tfracpi2r)=tfracpi4.

Passo 3

Derivando implicitamente F(x,y,h(x,y))=0 em x e em y, obtemos
hx = -FxFz = -2sin xcos xsin(2z) = -sin(2x)sin(2z), hy = -sin(2y)sin(2z)
No ponto l(tfracpi2,tfracpi2,tfracpi4r) temos sin(2cdottfracpi2)=0 e sin(2cdottfracpi4)=1, logo
hxl(tfracpi2,tfracpi2r) = 0, hyl(tfracpi2,tfracpi2r) = 0
Portanto l(tfracpi2,tfracpi2r) é ponto crítico de h.

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, calculamos as segundas derivadas em l(tfracpi2,tfracpi2r). A forma geral é
hxx = -2cos(2x),sin(2z) + 2sin(2x)cos(2z),hxsin^2(2z),
e análogo para hyy. Em nosso ponto sin(2z)=1, cos(2z)=0 e hx=0, daí
hxxl(tfracpi2,tfracpi2r) = -2cosl(2cdottfracpi2r) = -2cos(pi) = 2>0,
e do mesmo modo hyyl(tfracpi2,tfracpi2r)=2>0. A derivada mista hxy também se anula em virtude de sin(2x)=0.
O Hessiano de h é, portanto,
hxx & hxy hxy & hyy = 2 & 0 0 & 2 ,
que é definido-positivo. Logo l(tfracpi2,tfracpi2r) é ponto de mínimo local de h.

Resposta

A equação define localmente z=h(x,y) com hl(tfracpi2,tfracpi2r)=tfracpi4, e esse ponto é um mínimo local de h.

Exercícios relacionados