(1 ponto) a) Seja H: R^2 n R uma função de classe C^2. Suponha que nabla H(x)=0 apenas num número finito de pontos. Ache uma integral primeira para o sistema x^prime=f(x), em que f: R^2 n R^2 n é dada por
f(x1, ldots, x2 n)=(partial Hpartial xn+1, ldots, partial Hpartial x2 n,-partial Hpartial x1, ldots,-partial Hpartial xn)
Mostre por que a função escolhida é uma integral primeira.
(1 ponto) b) Existe uma integral primeira para a EDO x^prime=f(x), em que f: R R é dada por f(x)=-x ? Se existir, ache uma (Justifique). Caso contrário, justifique por que não existe.
(1 ponto) c) Existe uma integral primeira para a EDO x^prime=f(x), em que f: R^2 R^2 é dada por f(x, y)= (-x, y) ? Se existir, ache uma (Justifique). Caso contrário, justifique por que não existe.

Passo 1

O enunciado pede que em (a) a gente identifique uma integral primeira para o sistema de dimensão cujo campo de vetores é
em (b) ache (ou comprove a inexistência de) integral primeira para em e em (c) para em .
Vamos usar a definição de integral primeira: é integral primeira se ao longo de qualquer solução de temos

Passo 2

(a) Escolhemos I(x)=H(x). Então
ddtHl(x(t)r) =nabla H(x)cdot f(x) =sumi=1^npartialxiH,partialxn+iH +sumi=n+1^2npartialxiH,l(-partialxi-nHr)
Na segunda soma trocamos j=i-n e obtemos
sumi=1^npartialxiH,partialxn+iH -sumi=1^npartialxn+iH,partialxiH =0
Logo H é constante ao longo das soluções, isto é, é integral primeira.

Passo 3

(b) Em a condição vira
Para isso obriga , logo é constante em . Pela continuidade em segue que é constante em todo . Portanto não existe integral primeira não-constante.

Passo 4

(c) Em a condição é
Tratamos como PDE de primeira ordem e fazemos características:
Logo a solução geral é . Tomando obtemos a integral primeira não-trivial

Resposta

a) A própria função H(x) é integral primeira.
b) As únicas integrais primeiras são as funções constantes (não há integral não-constante).
c) Uma integral primeira não-trivial é I(x,y)=xcdot y.

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