(1 ponto) a) Seja
uma função de classe
. Suponha que
apenas num número finito de pontos. Ache uma integral primeira para o sistema
, em que
é dada por
Mostre por que a função escolhida é uma integral primeira.
(1 ponto) b) Existe uma integral primeira para a EDO
, em que
é dada por
? Se existir, ache uma (Justifique). Caso contrário, justifique por que não existe.
ponto) c) Existe uma integral primeira para a EDO
, em que
é dada por
? Se existir, ache uma (Justifique). Caso contrário, justifique por que não existe.
(1 ponto) b) Existe uma integral primeira para a EDO
Passo 1
O enunciado pede que em (a) a gente identifique uma integral primeira para o sistema de dimensão
cujo campo de vetores é
em (b) ache (ou comprove a inexistência de) integral primeira para
em e em (c) para
em .
Vamos usar a definição de integral primeira: é integral primeira se ao longo de qualquer solução
de
temos
Vamos usar a definição de integral primeira:
Passo 2
(a) Escolhemos
. Então
Na segunda soma trocamos
e obtemos
Logo
é constante ao longo das soluções, isto é, é integral primeira.
Passo 3
(b) Em a condição
vira
Para
isso obriga
, logo
é constante em . Pela continuidade em
segue que
é constante em todo . Portanto não existe integral primeira não-constante.
Passo 4
(c) Em a condição
é
Tratamos como PDE de primeira ordem e fazemos características:
Logo a solução geral é
. Tomando
obtemos a integral primeira não-trivial
Resposta
a) A própria função
é integral primeira.
b) As únicas integrais primeiras são as funções constantes (não há integral não-constante).
c) Uma integral primeira não-trivial é .
b) As únicas integrais primeiras são as funções constantes (não há integral não-constante).
c) Uma integral primeira não-trivial é