(2 pontos) Sejam dadas as matrizes
A=(ll 2 & 0 0 & 2 ) e B=(ll 2 & 0 1 & 2 )
Sabemos que ambas estão na forma de Jordan e não são conjugadas, ou seja, não existe uma matriz P in M2(R) tal que P^-1 A P=B.
Sejam f1: R^2 R^2 e f2: R^2 R^2 funções dadas por f1(x)=A x e f2(x)=B x. Consideremos as equações x^prime=f1(x) e x^prime=f2(x).
Os campos f1 e f2 são topologicamente conjugados? Eles são diferenciavelmente conjugados?

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = 2 & 0 0 & 2, B = 2 & 0 1 & 2,
e define os campos lineares f1(x)=Ax e f2(x)=Bx. Queremos saber se os respectivos fluxos
phi1(t,x)=e^Atx e phi2(t,x)=e^Btx são (i) topologicamente conjugados e (ii) diferenciavelmente conjugados. O conteúdo aqui é a teoria de conjugação de sistemas dinâmicos lineares, em particular a classificação topológica de pontos fixos hiperbólicos (Hartman–Grobman) e a conjugação diferenciável que exige conjugação matricial.

Passo 2

Calculamos rapidamente os fluxos. Como A=2I, tem-se
phi1(t,x)=e^2tx
Para B=2I+N onde N=0&01&0 e N^2=0, usa-se exp(Bt)=e^2te^Nt=e^2t(I+Nt). Assim
phi2(t,x)=e^2t(I+Nt),x
é também uma expansão radial, mas “acrescida” de um termo nilpotente em t.

Passo 3

Note que em ambos os casos o único ponto fixo é a origem e todas as direções são instáveis, pois os autovalores são . Logo cada fluxo é hiperbólico com duas direções instáveis. Pelo teorema de Hartman–Grobman, qualquer ponto fixo hiperbólico é localmente topologicamente conjugado ao seu linear, e sistemas lineares hiperbólicos com o mesmo número de direções estáveis/instáveis são topologicamente conjugados globalmente (no caso, ambos têm duas instáveis e zero estáveis). Concluímos que existe uma homeomorfismo tal que

Passo 4

Para haver conjugação diferenciável (digamos ) entre fluxos lineares, basta que o diferencial conjugue as matrizes, isto é, exista com
Mas por hipótese já sabemos que e não são conjugadas em . Logo não existe difeomorfismo que conjugue e .

Resposta

Os campos são topologicamente conjugados, mas não são diferenciavelmente conjugados.

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