(1,5 ponto)
Seja
Calcule
a) 10
b) 8
c) 6
d) 14
e) 7 .
Seja
a) 10
b) 8
c) 6
d) 14
e) 7 .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas e integrais definidas. O enunciado nos dá uma função definida por uma integral e pede para calcular a sua derivada em um ponto específico. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender um pouco sobre derivadas de funções definidas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Se temos uma função $ F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(u) , du $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é dada por:
Ou seja, derivamos a função dentro da integral e multiplicamos pela derivada do limite superior.
Passo 3
No nosso exercício, temos:
Aqui, $ f(u) = 4 \cdot (\ln(\cos u) + 1) $ e $ g(x) = 2x $. Vamos aplicar o teorema para encontrar $ F’(x) $.
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos encontrar $ F’(0) $. Substituímos $ x = 0 $ na expressão que encontramos:
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
A resposta correta é 8 (alternativa b).