(1,5 ponto)
Seja
F(x)=integral-1^2 x 4 cdot(ln (cos u)+1) d u Calcule F^prime(0)
a) 10
b) 8
c) 6
d) 14
e) 7 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas e integrais definidas. O enunciado nos dá uma função definida por uma integral e pede para calcular a sua derivada em um ponto específico. Para isso, vamos precisar aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e entender um pouco sobre derivadas de funções definidas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz. Se temos uma função $ F(x) = \int_{a}^{g(x)} f(u) , du $, então a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é dada por:
F(x) = integrala^g(x) f(u) , du
Ou seja, derivamos a função dentro da integral e multiplicamos pela derivada do limite superior.

Passo 3

No nosso exercício, temos:
F(x) = integral-1^2x 4 cdot (ln(cos u) + 1) , du
Aqui, $ f(u) = 4 \cdot (\ln(\cos u) + 1) $ e $ g(x) = 2x $. Vamos aplicar o teorema para encontrar $ F’(x) $.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) = 4 cdot (ln(cos(2x)) + 1) cdot 2
Simplificando:
F'(x) = 8 cdot (ln(cos(2x)) + 1)

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ F’(0) $. Substituímos $ x = 0 $ na expressão que encontramos:
F'(0)
Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e $ \ln(1) = 0 $, então:
x = 0

Resposta

A resposta correta é 8 (alternativa b).

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