(1 ponto) Seja
o tempo até a desintegração de uma partícula radioativa cuja função de distribuição acumulada (fda) é dada por:
, para
. Qual é o valor de
tal que
?
(a) -11.222
(b) 11.222
(c) -11.889
(d) 5.516
(a) -11.222
(b) 11.222
(c) -11.889
(d) 5.516
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória é
com função de distribuição acumulada
e pede: encontrar o valor de
tal que
.
Informações relevantes:
(para
),
.
Informações relevantes:
Passo 2
Entender a relação entre
e a probabilidade pedida. Por definição,
. Para uma variável contínua (como aqui),
, logo
Essa quantidade
também é chamada de função sobrevivência
.
Passo 3
Aplicando isso para
e usando a forma de
do enunciado, obtemos
O enunciado diz que essa probabilidade vale
. Portanto temos a equação
Passo 4
Resolver a equação exponencial. Tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Usando
e as propriedades do logaritmo:
Isolando
:
Passo 5
Calcular numericamente. Primeiro observe que
é negativo (porque
); numericamente
. Então
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais) obtemos
. Verificação rápida:
, compatível com a condição.
Passo 6
Comentário prático e incentivo:
é positivo (como esperado para a taxa de uma distribuição exponencial); entre as alternativas, a que coincide com esse valor é a alternativa (b). Você já tem o raciocínio padrão: transformar a probabilidade em função de
, passar para a forma exponencial e usar log natural para isolar
. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo!
Resposta
(b)