(1 ponto) Seja X o tempo até a desintegração de uma partícula radioativa cuja função de distribuição acumulada (fda) é dada por: F(x)=1-e^{-\lambda x}, para x>0. Qual é o valor de \lambda tal que P(X \geq 0.06)=0.51 ?
(a) -11.222
(b) 11.222
(c) -11.889
(d) 5.516

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória é X com função de distribuição acumulada
F(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x>0,
e pede: encontrar o valor de \lambda tal que P(X\geq 0,06)=0,51.
Informações relevantes:
\;F(x)=1-e^{-\lambda x} (para x>0),
\;P(X\geq 0,06)=0,51.

Passo 2

Entender a relação entre F e a probabilidade pedida. Por definição, F(a)=P(X\leq a). Para uma variável contínua (como aqui), P(X=a)=0, logo
P(X\geq a)=1-P(X\leq a)=1-F(a).
Essa quantidade P(X\geq a) também é chamada de função sobrevivência S(a)=1-F(a).

Passo 3

Aplicando isso para a=0,06 e usando a forma de F do enunciado, obtemos
P(X\geq 0,06)=1-F(0,06)=1-\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 0,06}\bigr)=e^{-\lambda\cdot 0,06}.
O enunciado diz que essa probabilidade vale 0,51. Portanto temos a equação
e^{-0,06\lambda}=0,51.

Passo 4

Resolver a equação exponencial. Tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Usando \ln(e^{y})=y e as propriedades do logaritmo:
-0,06\lambda=\ln(0,51).
Isolando \lambda:
\lambda=-\dfrac{\ln(0,51)}{0,06}.

Passo 5

Calcular numericamente. Primeiro observe que \ln(0,51) é negativo (porque 0,51<1); numericamente \ln(0,51)\approx -0,673344. Então
\lambda\approx -\dfrac{-0,673344}{0,06}=\dfrac{0,673344}{0,06}\approx 11,222409.
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais) obtemos \lambda\approx 11,222. Verificação rápida: e^{-0,06\cdot 11,222}\approx e^{-0,67332}\approx 0,51, compatível com a condição.

Passo 6

Comentário prático e incentivo: \lambda é positivo (como esperado para a taxa de uma distribuição exponencial); entre as alternativas, a que coincide com esse valor é a alternativa (b). Você já tem o raciocínio padrão: transformar a probabilidade em função de F, passar para a forma exponencial e usar log natural para isolar \lambda. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo!

Resposta

(b) 11,222

Exercícios relacionados