(1 ponto) Seja X\) uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text { se } 1 \leq x<2 \\\\ 0.031 \exp (x), & \text { se } 2 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
onde c\] é uma constante real. Qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1.2) ?
(a) 0.500
(b) 0.609
(c) 0.105
(d) 0.895
(e) 0.391

Passo 1

O enunciado dá a densidade de uma variável aleatória contínua X\): \[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text{se } x<1,\\[4pt] \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text{se } 1\le x<2,\\[6pt] 0{,}031\;e^{x}, & \text{se } 2\le x<3,\\[4pt] 0, & \text{se } x\ge 3, \end{cases}
onde c\] é uma constante real desconhecida. A pergunta é: qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1{,}2)?\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A função dada é uma densidade de probabilidade, então sua integral sobre (-\infty,\infty) vale 1.
  • O suporte não nulo de X é 1\le x<3, dividido em dois pedaços: [1,2) com densidade \dfrac{\sqrt{x}}{c} e [2,3) com densidade 0{,}031e^{x}.
  • Para calcular \mathrm{P}(X>1{,}2) preciso integrar f_X de 1{,}2 até 3, o que se separa em 1{,}2\le x<2 e 2\le x<3.]

Passo 2

Primeiro: encontrar c usando a condição de normalização da densidade. A integral total deve ser 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1.
Como f_X é zero fora de [1,3), isso vira
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x}}{c}\,dx + \int_{2}^{3} 0{,}031\,e^{x}\,dx = 1.
Vou calcular cada integral separadamente e explicar cada passo:
  1. A integral de \sqrt{x} é uma integral elemental. Recorde: \displaystyle \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C. Aqui x^{1/2}=\sqrt{x} e x^{3/2}=x\sqrt{x}. Portanto
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,dx = \left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr) = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
  1. A integral do exponencial é direta: \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C. Logo
\int_{2}^{3} 0{,}031\,e^{x}\,dx = 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr).
Substituindo na equação de normalização:
\frac{1}{c}\cdot \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) + 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr) = 1.
Agora calculo numericamente cada termo (mostrando as aproximações para você poder seguir na prova sem calculadora complexa — você pode deixar em forma simbólica e avaliar com uma calculadora nos últimos passos):
  • 2^{3/2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271247.
  • Então \dfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\approx 1{,}2189514165.
  • e^{2}\approx 7{,}3890560989 e e^{3}\approx 20{,}0855369232, então e^{3}-e^{2}\approx 12{,}6964808243.
  • Multiplicando: 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr)\approx 0{,}3935909056.
Assim a equação fica numericamente
\frac{1{,}2189514165}{c} + 0{,}3935909056 = 1.
Isolando 1/c:
\frac{1}{c} = \frac{1 - 0{,}3935909056}{1{,}2189514165} \approx 0{,}4975750252,
portanto
c \approx \frac{1}{0{,}4975750252} \approx 2{,}009740661.
Comentário didático: a ideia prática é sempre usar a condição \int f=1 para ajustar constantes em densidades. Aqui a parte com c veio do intervalo [1,2); a parte exponencial já continha o número 0{,}031.

Passo 3

Agora calculamos \mathrm{P}(X>1{,}2). Pelo suporte, isso é
\mathrm{P}(X>1{,}2)=\int_{1{,}2}^{3} f_X(x)\,dx = \int_{1{,}2}^{2} \frac{\sqrt{x}}{c}\,dx + \int_{2}^{3} 0{,}031\,e^{x}\,dx.
Já conhecemos a segunda integral: \displaystyle \int_{2}^{3} 0{,}031\,e^{x}\,dx = 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr)\approx 0{,}3935909056.
Calculemos a primeira integral \displaystyle \int_{1{,}2}^{2} \sqrt{x}\,dx usando a mesma primitiva:
\int_{1{,}2}^{2} \sqrt{x}\,dx = \left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1{,}2}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2} - 1{,}2^{3/2}\bigr).
Aqui eu explico o cálculo de 1{,}2^{3/2}: x^{3/2}=x\sqrt{x}, então 1{,}2^{3/2}=1{,}2\sqrt{1{,}2}. Numericamente:
  • \sqrt{1{,}2}\approx 1{,}0954451150, então 1{,}2^{3/2}\approx 1{,}3145341380.
  • Logo \dfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2} - 1{,}2^{3/2}\bigr)\approx 1{,}0092619912.
Agora multiplicamos por 1/c (porque o integrando era \sqrt{x}/c):
\frac{1}{c}\int_{1{,}2}^{2} \sqrt{x}\,dx \approx \frac{1{,}0092619912}{2{,}009740661} \approx 0{,}5020001882.
Somando as duas partes:
\mathrm{P}(X>1{,}2)\approx 0{,}5020001882 + 0{,}3935909056 = 0{,}8955910938.
Arredondando razoavelmente (e comparando com as opções dadas), obtemos aproximadamente 0{,}8956, que coincide com a alternativa (\text{d})\;0{,}895 dada no enunciado.

Passo 4

Resumo e interpretação final: a maior parte da probabilidade além de 1{,}2 vem da faixa [1{,}2,2) com densidade \sqrt{x}/c (cerca de 0{,}502) mais a contribuição da faixa exponencial [2,3) (cerca de 0{,}394), totalizando aproximadamente 0{,}8956. Isso indica que é muito provável que X seja maior que 1{,}2 neste modelo.

Resposta

0{,}895 (d)

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