(1 ponto) Seja X\) uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
\[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text { se } 1 \leq x<2 \\\\ 0.031 \exp (x), & \text { se } 2 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
onde c\] é uma constante real. Qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1.2) ?
(a) 0.500
(b) 0.609
(c) 0.105
(d) 0.895
(e) 0.391
Passo 1
O enunciado dá a densidade de uma variável aleatória contínua X\):
\[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text{se } x<1,\\[4pt] \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text{se } 1\le x<2,\\[6pt] 0{,}031\;e^{x}, & \text{se } 2\le x<3,\\[4pt] 0, & \text{se } x\ge 3, \end{cases}
onde c\] é uma constante real desconhecida. A pergunta é: qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1{,}2)?\n
Informações relevantes que extraí do enunciado:
A função dada é uma densidade de probabilidade, então sua integral sobre (-\infty,\infty) vale 1.
O suporte não nulo de X é 1\le x<3, dividido em dois pedaços: [1,2) com densidade \dfrac{\sqrt{x}}{c} e [2,3) com densidade 0{,}031e^{x}.
Para calcular \mathrm{P}(X>1{,}2) preciso integrar f_X de 1{,}2 até 3, o que se separa em 1{,}2\le x<2 e 2\le x<3.]
Passo 2
Primeiro: encontrar c usando a condição de normalização da densidade. A integral total deve ser 1, isto é,
Vou calcular cada integral separadamente e explicar cada passo:
A integral de \sqrt{x} é uma integral elemental. Recorde: \displaystyle \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C. Aqui x^{1/2}=\sqrt{x} e x^{3/2}=x\sqrt{x}. Portanto
Agora calculo numericamente cada termo (mostrando as aproximações para você poder seguir na prova sem calculadora complexa — você pode deixar em forma simbólica e avaliar com uma calculadora nos últimos passos):
2^{3/2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}8284271247.
Então \dfrac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\approx 1{,}2189514165.
e^{2}\approx 7{,}3890560989 e e^{3}\approx 20{,}0855369232, então e^{3}-e^{2}\approx 12{,}6964808243.
c \approx \frac{1}{0{,}4975750252} \approx 2{,}009740661.
Comentário didático: a ideia prática é sempre usar a condição \int f=1 para ajustar constantes em densidades. Aqui a parte com c veio do intervalo [1,2); a parte exponencial já continha o número 0{,}031.
Passo 3
Agora calculamos \mathrm{P}(X>1{,}2). Pelo suporte, isso é
Arredondando razoavelmente (e comparando com as opções dadas), obtemos aproximadamente 0{,}8956, que coincide com a alternativa (\text{d})\;0{,}895 dada no enunciado.
Passo 4
Resumo e interpretação final: a maior parte da probabilidade além de 1{,}2 vem da faixa [1{,}2,2) com densidade \sqrt{x}/c (cerca de 0{,}502) mais a contribuição da faixa exponencial [2,3) (cerca de 0{,}394), totalizando aproximadamente 0{,}8956. Isso indica que é muito provável que X seja maior que 1{,}2 neste modelo.