Questão 1. ( 1,0 \mathrm{pt}.) Numa amostra de cinco operários de uma dada empresa foram observadas duas variáveis: X que representa os anos de experiência num dado cargo e Y é o tempo, em minutos, gasto na execução de uma certa tarefa relacionada com esse cargo. Os dados são apresentados na tabela abaixo. Calcule o coeficiente de correlação de Pearson para essas variáveis. Qual conclusão pode ser feita?
X 1 2 4 4 5
Y 7 8 3 2 2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis e (2) tirar uma conclusão sobre essa correlação.
As informações dadas (retiradas da tabela do enunciado) são os pares de observações (X,Y): (1,7), (2,8), (4,3), (4,2), (5,2).

Passo 2

Vamos lembrar qual é a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson r. É
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}\;\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^{2}}},
onde:
  • n é o número de observações (aqui n=5);
  • \bar{x} é a média amostral de X;
  • \bar{y} é a média amostral de Y;
  • (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) são os produtos das diferenças em cada par.
Vou calcular passo a passo \bar{x} e \bar{y}.

Passo 3

Calculemos as médias usando a definição \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i e \bar{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i.
\bar{x}=\frac{1+2+4+4+5}{5}=\frac{16}{5}=3{,}2.
\bar{y}=\frac{7+8+3+2+2}{5}=\frac{22}{5}=4{,}4.

Passo 4

Agora calculamos, para cada observação, as diferenças (x_i-\bar{x}) e (y_i-\bar{y}), seus quadrados e o produto das diferenças. Vou mostrar cada linha (dados tirados da tabela do enunciado):
Para (x_1,y_1)=(1,7):
x_1-\bar{x}=1-3{,}2=-2{,}2,\qquad y_1-\bar{y}=7-4{,}4=2{,}6,
(x_1-\bar{x})^{2}=(-2{,}2)^{2}=4{,}84,\qquad (y_1-\bar{y})^{2}=(2{,}6)^{2}=6{,}76,
(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})=-2{,}2\cdot 2{,}6=-5{,}72.
Para (x_2,y_2)=(2,8):
x_2-\bar{x}=2-3{,}2=-1{,}2,\qquad y_2-\bar{y}=8-4{,}4=3{,}6,
(x_2-\bar{x})^{2}=1{,}44,\qquad (y_2-\bar{y})^{2}=12{,}96,
(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})=-1{,}2\cdot 3{,}6=-4{,}32.
Para (x_3,y_3)=(4,3):
x_3-\bar{x}=4-3{,}2=0{,}8,\qquad y_3-\bar{y}=3-4{,}4=-1{,}4,
(x_3-\bar{x})^{2}=0{,}64,\qquad (y_3-\bar{y})^{2}=1{,}96,
(x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})=0{,}8\cdot(-1{,}4)=-1{,}12.
Para (x_4,y_4)=(4,2):
x_4-\bar{x}=0{,}8,\qquad y_4-\bar{y}=2-4{,}4=-2{,}4,
(x_4-\bar{x})^{2}=0{,}64,\qquad (y_4-\bar{y})^{2}=5{,}76,
(x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y})=0{,}8\cdot(-2{,}4)=-1{,}92.
Para (x_5,y_5)=(5,2):
x_5-\bar{x}=5-3{,}2=1{,}8,\qquad y_5-\bar{y}=2-4{,}4=-2{,}4,
(x_5-\bar{x})^{2}=3{,}24,\qquad (y_5-\bar{y})^{2}=5{,}76,
(x_5-\bar{x})(y_5-\bar{y})=1{,}8\cdot(-2{,}4)=-4{,}32.

Passo 5

Somamos as colunas que precisamos para aplicar a fórmula:
Soma dos produtos das diferenças:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=-5{,}72-4{,}32-1{,}12-1{,}92-4{,}32=-17{,}40.
Soma dos quadrados das diferenças de X:
\sum_{i=1}^{5}(x_i-\bar{x})^{2}=4{,}84+1{,}44+0{,}64+0{,}64+3{,}24=10{,}80.
Soma dos quadrados das diferenças de Y:
\sum_{i=1}^{5}(y_i-\bar{y})^{2}=6{,}76+12{,}96+1{,}96+5{,}76+5{,}76=33{,}20.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de r. Substituindo os somatórios:
r=\frac{-17{,}40}{\sqrt{10{,}80\cdot 33{,}20}}.
Calculemos o denominador:
10{,}80\cdot 33{,}20=358{,}56,\qquad \sqrt{358{,}56}\approx 18{,}937.
Portanto
r\approx\frac{-17{,}40}{18{,}937}\approx -0{,}919.

Passo 7

Interpretação didática (o que esse número significa):
  • O coeficiente r varia entre -1 e +1. O sinal indica a direção da associação (negativa ou positiva) e o valor absoluto indica a força (próximo de 1 = forte, próximo de 0 = fraco).
  • Aqui \,r\approx -0{,}919 indica uma correlação linear negativa muito forte: à medida que X (anos de experiência) aumenta, Y (tempo em minutos) tende a diminuir.
  • Observação prática: correlação não implica causalidade automaticamente — mas neste contexto é plausível interpretar que mais experiência tende a reduzir o tempo da tarefa, embora outras causas possam existir. Também é bom lembrar que a amostra é pequena ( n=5), então qualquer inferência estatística mais formal exigiria cuidado.

Resposta

r\approx -0{,}919
Conclusão: existe uma correlação linear negativa muito forte entre X (anos de experiência) e Y (tempo da tarefa): quanto maior X, menor tende a ser Y.

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