(1 ponto) Seja X\) uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por \[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text { se } 1 \leq x<2 \\\\ 0.031 \exp (x), & \text { se } 2 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
onde c\] é uma constante real. Qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1.9) ?
a. 0.500
b. 0.609
c. 0.540
d. 0.391
e. 0.460

Passo 1

O enunciado dá uma função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, definida por partes, e pede o valor de \mathrm{P}(X>1{,}9).
Informações fornecidas:
  • Para x<1: f_X(x)=0.
  • Para 1\le x<2: f_X(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{c}, onde c é uma constante real desconhecida.
  • Para 2\le x<3: f_X(x)=0{,}031\exp(x).
  • Para x\ge 3: f_X(x)=0.
  • Pergunta: calcular \mathrm{P}(X>1{,}9).
Observação: como f_X é densidade, ela deve satisfazer a condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1,
que vai permitir determinar a constante c. A partir de c será possível calcular \mathrm{P}(X>1{,}9) separando a integral nos trechos apropriados.

Passo 2

Normalização da densidade: escrever a equação que determina c. Como f_X(x)=0 fora de [1,3), temos
\int_{1}^{2} \frac{\sqrt{x}}{c}\,dx \;+\; \int_{2}^{3} 0{,}031 e^{x}\,dx \;=\; 1.
Vou calcular cada integral separadamente.
  1. Integral da parte com \sqrt{x}. Usar a primitiva de x^{1/2}: para qualquer x,
\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3} x^{3/2}.
Neste caso,
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,dx = \left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Podemos escrever esse valor exatamente como
\int_{1}^{2} \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) \;=\; \frac{4}{3}\sqrt{2}-\frac{2}{3}.
  1. Integral da parte exponencial. A primitiva de e^{x} é e^{x}. Assim,
\int_{2}^{3} 0{,}031 e^{x}\,dx = 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr).
Agora colocar na equação de normalização:
\frac{1}{c}\cdot\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) \;+\; 0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr) \;=\; 1.

Passo 3

Isolar c. Denotando
I_1=\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr), \qquad I_2=0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr),
a normalização fica \dfrac{I_1}{c}+I_2=1. Então
\frac{I_1}{c}=1-I_2 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{I_1}{1-I_2}.
Agora calcular numericamente I_1 e I_2.
Calcular I_1:
2^{3/2}=2\sqrt{2}\approx 2{,}8284271247461903,
I_1=\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\approx \frac{2}{3}\cdot 1{,}8284271247461903 \approx 1{,}2189514164974602.
Calcular I_2:
e^{2}\approx 7{,}38905609893065,\qquad e^{3}\approx 20{,}085536923187668,
I_2=0{,}031\bigl(e^{3}-e^{2}\bigr)\approx 0{,}031\cdot 12{,}696480824257018 \approx 0{,}39359130555196756.
Logo
1-I_2 \approx 0{,}6064086944480324,
c \approx \frac{1{,}2189514164974602}{0{,}6064086944480324} \approx 2{,}010115367\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Calcular \mathrm{P}(X>1{,}9). Como 1{,}9\in[1,2), devemos somar a probabilidade do intervalo [1{,}9,2) (onde a densidade é \sqrt{x}/c) com a probabilidade do intervalo [2,3) (onde a densidade é 0{,}031e^{x}). Assim
\mathrm{P}(X>1{,}9) = \int_{1{,}9}^{2} \frac{\sqrt{x}}{c}\,dx \;+\; \int_{2}^{3} 0{,}031 e^{x}\,dx.
Já conhecemos \int_{2}^{3} 0{,}031 e^{x}\,dx = I_2 \approx 0{,}39359130555196756.
Calcular a primeira integral:
\int_{1{,}9}^{2} \sqrt{x}\,dx = \left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1{,}9}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1{,}9^{3/2}\bigr).
Calcular 1{,}9^{3/2}. Uma forma prática é 1{,}9^{3/2}=1{,}9\sqrt{1{,}9}. Usando valores:
\sqrt{1{,}9}\approx 1{,}3784048752090228,\qquad 1{,}9^{3/2}\approx 2{,}6189692628971434.
Logo
\int_{1{,}9}^{2} \sqrt{x}\,dx \approx \frac{2}{3}\bigl(2{,}8284271247461903-2{,}6189692628971434\bigr) \approx \frac{2}{3}\cdot 0{,}2094578618490469 \approx 0{,}13963857456603127.
Dividindo por c (valor aproximado encontrado):
\int_{1{,}9}^{2} \frac{\sqrt{x}}{c}\,dx \approx \frac{0{,}13963857456603127}{2{,}010115367} \approx 0{,}069470494.
Somando as duas parcelas:
\mathrm{P}(X>1{,}9)\approx 0{,}069470494 + 0{,}3935913056 \approx 0{,}4630617996.
Arredondando conforme as alternativas fornecidas, isso corresponde aproximadamente a 0{,}460.

Passo 5

Comparando com as alternativas numéricas fornecidas:
  • valor aproximado obtido \approx 0{,}463, a alternativa mais próxima é a alternativa (e) 0{,}460.

Resposta

e. 0{,}460

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