(1 ponto) Seja X\) uma variável aleatória continua cuja função de densidade é dada por
\[f_{X}(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<1 \\\ \frac{\sqrt{x}}{c}, & \text { se } 1 \leq x<2 \\\\ 0.031 \exp (x), & \text { se } 2 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
onde c\] é uma constante real. Qual é o valor de \(\mathrm{P}(X>1.9) ?
a. 0.500
b. 0.609
c. 0.540
d. 0.391
e. 0.460
Passo 1
O enunciado dá uma função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, definida por partes, e pede o valor de \mathrm{P}(X>1{,}9).
Informações fornecidas:
Para x<1: f_X(x)=0.
Para 1\le x<2: f_X(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{c}, onde c é uma constante real desconhecida.
Para 2\le x<3: f_X(x)=0{,}031\exp(x).
Para x\ge 3: f_X(x)=0.
Pergunta: calcular \mathrm{P}(X>1{,}9).
Observação: como f_X é densidade, ela deve satisfazer a condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = 1,
que vai permitir determinar a constante c. A partir de c será possível calcular \mathrm{P}(X>1{,}9) separando a integral nos trechos apropriados.
Passo 2
Normalização da densidade: escrever a equação que determina c. Como f_X(x)=0 fora de [1,3), temos
c \approx \frac{1{,}2189514164974602}{0{,}6064086944480324} \approx 2{,}010115367\\ (\text{aprox.}).
Passo 4
Calcular \mathrm{P}(X>1{,}9). Como 1{,}9\in[1,2), devemos somar a probabilidade do intervalo [1{,}9,2) (onde a densidade é \sqrt{x}/c) com a probabilidade do intervalo [2,3) (onde a densidade é 0{,}031e^{x}). Assim