(Opcional - 0 pontos) Seja X uma v.a. discreta que possui f.m.p. dada por P(X= k)=1 / n para todo k in1, ldots, n. Determine E(X) e Var(X).

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória discreta uniformemente distribuída em 1,2,dots,n, isto é,
P(X=k)=1npara k=1,dots,n
O conteúdo é cálculo de valor esperado e variância de uma distribuição uniforme discreta. Vamos usar as fórmulas
E(X)=sumk=1^n k,P(X=k), Var(X)=E(X^2)-l[E(X)r]^2,
e as somas conhecidas
sumk=1^n k=tfracn(n+1)2 e sumk=1^n k^2=tfracn(n+1)(2n+1)6.

Passo 2

Calcular E(X). Pela definição,
E(X) =sumk=1^n kcdot1n =1nsumk=1^n k =1ncdotn(n+1)2 =n+12

Passo 3

Calcular E(X^2). Analogamente,
E(X^2) =sumk=1^n k^2cdot1n =1nsumk=1^n k^2 =1ncdotn(n+1)(2n+1)6 =(n+1)(2n+1)6

Passo 4

Calcular Var(X) usando
Var(X) =E(X^2)-l[E(X)r]^2 =(n+1)(2n+1)6-l(n+12r)^2
Colocando em denominador comum 12:
Var(X) =2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^212 =(n+1)l(4n+2-3n-3r)12 =(n+1)(n-1)12 =n^2-112

Resposta

E(X)=n+12, Var(X)=n^2-112

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