(1,0 ponto) Sejam um -espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e um subespaço vetorial. Mostre que:
(a) ;
(b) .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, em um espaço vetorial complexo finito-dimensional com produto interno e subespaço , que
, e
.
O conteúdo usado será o Processo de Gram–Schmidt, que garante a existência de bases ortonormais, e o fato de que uma base ortonormal estendida descreve a decomposição direta e a soma de dimensões.
Passo 2
Escolha uma base qualquer de . Pelo processo de Gram–Schmidt existe uma base ortonormal
de . Ou seja, e .
Passo 3
Como é finito-dimensional, podemos estender a uma base ortonormal de :
Pela construção ortonormal, para cada temos para , logo . Assim
Passo 4
Como é base de , todo se escreve
Isso mostra que V = W + W^perp. Além disso, se um vetor pertence simultaneamente a W e a W^perp, então todos os coeficientes ci em ambas as somas devem ser zero, forçando esse vetor a ser o zero. Logo Wcap W^perp=0. Concluímos
V = W oplus W^perp
Passo 5
De propriedades de soma direta de subespaços vem
dim V ;=;diml(Woplus W^perpr) ;=;dim W ;+;dim W^perp
Resposta
(a) V = W oplus W^perp.
(b) dim V = dim W + dim W^perp