(1,0 ponto) Sejam V um C-espaço vetorial de dimensão finita com produto interno lang<=cdot, cdotrang<= e W subset V um subespaço vetorial. Mostre que:
(a) (0,5) V=W oplus W^perp;
(b) (0,5) dim V=dim W+dim W^perp.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, em um espaço vetorial complexo V finito-dimensional com produto interno lang<= cdot,cdotrang<= e subespaço Wsubset V, que
  1. V = W oplus W^perp, e
  2. dim V = dim W + dim W^perp.
    O conteúdo usado será o Processo de Gram–Schmidt, que garante a existência de bases ortonormais, e o fato de que uma base ortonormal estendida descreve a decomposição direta e a soma de dimensões.

Passo 2

Escolha uma base qualquer w1,dots,wk de W. Pelo processo de Gram–Schmidt existe uma base ortonormal
u1,dots,uk
de W. Ou seja, lang<= ui,ujrang<==de<aij e spanu1,dots,uk=W.

Passo 3

Como V é finito-dimensional, podemos estender u1,dots,uk a uma base ortonormal de V:
u1,dots,uk,uk+1,dots,un
Pela construção ortonormal, para cada j>k temos lang<= uj,uirang<==0 para i=1,dots,k, logo ujin W^perp. Assim
spanuk+1,dots,unsubseteq W^perp

Passo 4

Como u1,dots,un é base de V, todo vin V se escreve
v=sumi=1^n ci,ui =underbracesumi=1^k ci,uiin W +underbracesumi=k+1^n ci,uiin W^perp
Isso mostra que V = W + W^perp. Além disso, se um vetor pertence simultaneamente a W e a W^perp, então todos os coeficientes ci em ambas as somas devem ser zero, forçando esse vetor a ser o zero. Logo Wcap W^perp=0. Concluímos
V = W oplus W^perp

Passo 5

De propriedades de soma direta de subespaços vem
dim V ;=;diml(Woplus W^perpr) ;=;dim W ;+;dim W^perp

Resposta

(a) V = W oplus W^perp.
(b) dim V = dim W + dim W^perp

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