Q. 6 (1,0 (extra)). Use a definição de limite para mostrar que lim x 0 x cdot sen(1x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição formal de limite ( epsilon de<a), que
limxto0 xsin!l(tfrac1xr)=0
Logo, o conteúdo principal aqui é a definição de limite de função em um ponto, e precisaremos usar a desigualdade lvertsin trvert<=1.

Passo 2

A definição de limite diz que devemos provar: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<lvert x-0rvert<de<a, temos
llvert xsin(tfrac1x)-0rrvert<varepsilon

Passo 3

Observamos que, para xneq0,
llvert xsin(tfrac1x)rrvert =lvert xrvert;llvertsin(tfrac1x)rrvert <=lvert xrvertcdot1 =lvert xrvert

Passo 4

Escolhemos de<a=varepsilon. Então, se 0<lvert xrvert<de<a, temos
llvert xsin(tfrac1x)rrvert<=lvert xrvert<de<a=varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite, concluindo a prova.

Resposta

limxto0 xsin!l(tfrac1xr)=0

Exercícios relacionados