Considere a função f(x, y)=e^(x^2+y^2)+cos (x y)+x^3-5 y^3+10. Calcule:
(a) partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y)
(b) partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0)
(c) partial^2 fpartial x^2(x, y), partial^2 fpartial y^2(x, y), partial^2 fpartial x partial y(x, y) e partial^2 fpartial y partial x(x, y)
(d) partial^2 fpartial x^2(0,0), partial^2 fpartial y^2(0,0), partial^2 fpartial x partial y(0,0) e partial^2 fpartial y partial x(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=e^l(x^2+y^2r)+cos(xy)+x^3-5y^3+10
e pede (a) as derivadas parciais de primeira ordem, (b) seus valores em (0,0), (c) as derivadas parciais de segunda ordem e (d) seus valores em (0,0). Vamos usar as regras de diferenciação (cadeia, produto, trigonométricas) para cada termo.

Passo 2

Diferenciando em relação a x e y e avaliando em (0,0) obtemos:
fx(x,y)=partialpartial xe^(x^2+y^2)+partialpartial xcos(xy)+partialpartial xx^3 =2x,e^x^2+y^2-ysin(xy)+3x^2
fy(x,y)=partialpartial ye^(x^2+y^2)+partialpartial ycos(xy)+partialpartial y(-5y^3) =2y,e^x^2+y^2-xsin(xy)-15y^2
Avaliando em (0,0) segue:
fx(0,0)=0
fy(0,0)=0

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx(x,y)=partialpartial xfx =(2+4x^2),e^x^2+y^2-y^2cos(xy)+6x
fyy(x,y)=partialpartial yfy =(2+4y^2),e^x^2+y^2-x^2cos(xy)-30y
fxy(x,y)=partialpartial yfx =4xy,e^x^2+y^2-sin(xy)-xycos(xy)
fyx(x,y)=partialpartial xfy =4xy,e^x^2+y^2-sin(xy)-xycos(xy)

Passo 4

Finalmente, avaliando essas segundas derivadas em (0,0):
fxx(0,0)=2
fyy(0,0)=2
fxy(0,0)=0
fyx(0,0)=0

Resposta

(a) fx(x,y)=2x,e^x^2+y^2-ysin(xy)+3x^2
fy(x,y)=2y,e^x^2+y^2-xsin(xy)-15y^2
(b) fx(0,0)=0, fy(0,0)=0
(c) fxx(x,y)=(2+4x^2)e^x^2+y^2-y^2cos(xy)+6x
fyy(x,y)=(2+4y^2)e^x^2+y^2-x^2cos(xy)-30y
fxy(x,y)=4xy,e^x^2+y^2-sin(xy)-xycos(xy)
fyx(x,y)=4xy,e^x^2+y^2-sin(xy)-xycos(xy)
(d) fxx(0,0)=2, fyy(0,0)=2, fxy(0,0)=0, fyx(0,0)=0

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