Sendo
f(x)=lllx sen 1x & se & x neq 0 0 & se & x=0
Determine se existe ou não f^prime(0).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
f(x) = x cdot sin(1x) & se x neq 0 0 & se x = 0
A pergunta é: existe ou não a derivada de f em x = 0 ?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas, mais especificamente o limite que define a derivada em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada em um ponto. A derivada de f em x = a é:
f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a
No nosso caso, queremos f'(0) , então a fórmula fica:
f'(0) = limx to 0 f(x) - f(0)x - 0 = limx to 0 f(x)x

Passo 3

Sabemos que para x neq 0 , f(x) = x cdot sin(1x) . E para x = 0 , f(0) = 0 .
Então, substituindo na expressão da derivada:
f'(0) = limx to 0 x cdot sin(1x)x

Passo 4

Simplificando a expressão, os x do numerador e do denominador se cancelam:
f'(0) = limx to 0 sin(1x)

Passo 5

Agora, vamos analisar esse limite: limx to 0 sin(1x) .
Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1:
-1 <= sin(1x) <= 1
Mas conforme x se aproxima de 0, 1x fica muito grande, fazendo com que sin(1x) oscile rapidamente entre -1 e 1 sem se estabilizar em nenhum valor específico. Portanto, o limite não existe.

Resposta

Não, a derivada f^prime(0) não existe.

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