Para um oscilador harmônico de massa
e freqüência angular
, se
é solução da equação de movimento e
com
, procedendo como no problema anterior mostre que
. Expandindo
na série de Fourier
sen
(por que isto é possível?), mostre que
e conclua que a ação é mínima para a trajetória física se
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede tarefas claras:
- Temos um oscilador harmônico de massa
e frequência angular . - A ação associada a uma trajetória
é dada pela integral do lagrangiano do oscilador harmônico:
- Existe uma solução da equação de movimento (trajetória clássica)
. - Consideramos variações
definidas por com as condições de contorno
.
As tarefas pedidas são, em ordem:
- Mostrar que
- Justificar por que podemos expandir
na série de Fourier
e, usando essa expansão, provar que
- Concluir que a ação é mínima para a trajetória física se
.
Vou desenvolver passo a passo e explicar cada técnica usada (integração por partes, ortogonalidade das senos, etc.), sem pular etapas.
Passo 2
Substituição direta na ação e expansão: escrevemos
na expressão da ação e expandimos os termos quadráticos. Como o lagrangiano é quadrático em
e
, temos
Expandindo os quadrados:
A primeira integral é exatamente
. Resta analisar a integral mista (os termos cruzados) e o termo puramente em
.
Passo 3
Análise da integral mista usando integração por partes e a equação de movimento de
.
A parte mista é
Vamos transformar o termo com
por integração por partes. Aplicando integração por partes (escrevendo
,
) obtemos
Multiplicando por
e juntando com o termo
resulta
Agora usamos duas coisas fundamentais: (i) as condições de contorno
tornam o termo de fronteira nulo, pois
; (ii)
satisfaz a equação de movimento do oscilador harmônico,
Portanto o integrando na segunda parcela é zero e obtemos
.
Essa é a razão pela qual, ao expandir a ação ao redor da trajetória clássica, os termos de primeira ordem em
desaparecem: é exatamente a condição de estaçãoção da ação (Euler–Lagrange).
Passo 4
Conclusão da primeira parte (expressão do desvio da ação):
Como os termos mistos desaparecem, da expansão do Passo 2 ficamos com
que é justamente a igualdade pedida. Interpretação física: a diferença de ação é uma forma quadrática nas pequenas flutuações
.
Passo 5
Por que podemos expandir
como
Explicação didática e intuitiva: as funções
,
, satisfazem
, ou seja, cumprem as mesmas condições de contorno
. Além disso essas funções formam uma base ortogonal e completa em
para funções que se anulam nas extremidades (é a clássica série de Fourier apenas com senos — o chamado desenvolvimento em autofunções de problema de Dirichlet). Em termos práticos:
- Ortogonalidade:
- Completude: qualquer função razoável (por exemplo contínua por partes e integrável) que valha zero nas extremidades pode ser aproximada arbitrariamente bem em norma L2 por combinações lineares dessas senos.
Portanto existe uma expansão em série de senos com coeficientes dados por
Passo 6
Cálculo explícito das integrais
e
usando a expansão em senos.
Primeiro escrevemos a derivada termovisualmente:
Usamos as propriedades de ortogonalidade das funções trigonométricas. Em particular,
e produtos mistos
são zero. Assim, ao integrar os quadrados, os termos cruzados
desaparecem e só restam termos diagonais.
Logo
e
Mostrei passo a passo como cada integral reduz-se a uma soma diagonal graças à ortogonalidade.
Passo 7
Substituindo as expressões do Passo 6 na igualdade obtida no Passo 4:
Temos
Inserindo as somas:
Fatorando
e agrupando os termos em cada
obtemos
que é exatamente a expressão pedida.
Interpretação: a diferença de ação é uma soma sobre modos normais
, cada modo contribuindo com um termo quadrático em
com coeficiente
.
Passo 8
Condição de minimalidade e conclusão final.
Para que
seja um mínimo da ação em relação a variações com
, precisamos que para qualquer variação admissível
a diferença
seja não negativa. Como essa diferença é uma soma de termos quadráticos independentes em
, a condição é que todos os coeficientes na soma sejam não negativos:
O caso mais restritivo é
. Assim basta exigir
Se
o coeficiente do modo
é zero (direção degenerada — modo neutro); se
então o coeficiente para
é negativo, o que significa que existem variações que diminuem a ação (a trajetória é então uma sela e não um mínimo).
Portanto concluímos que a ação é mínima para a trajetória física
se
. Força aí — é um resultado bonito: o intervalo de tempo deve ser curto o bastante para que a trajetória clássica seja um mínimo estrito da ação.
Resposta
A ação é mínima para a trajetória física se