Para um oscilador harmônico de massa m e freqüência angular \omega, se x_{f}(t) é solução da equação de movimento e x(t)=x_{f}(t)+\eta(t) com \eta(0)=\eta(T)=0, procedendo como no problema anterior mostre que S[x]=S\left[x_{f}\right]+(m / 2) \int_{0}^{T}\left(\dot{\eta}^{2}-\omega^{2} \eta^{2}\right) d t. Expandindo \eta na série de Fourier \eta(t)=\sum_{n=1}^{\infty} C_{n} sen (n \pi t / T) (por que isto é possível?), mostre que S[x]=S\left[x_{f}\right]+(m T / 4) \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2} \pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\right) C_{n}^{2} e conclua que a ação é mínima para a trajetória física se T<\pi / \omega.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede tarefas claras:
  • Temos um oscilador harmônico de massa m e frequência angular \omega.
  • A ação associada a uma trajetória x(t) é dada pela integral do lagrangiano do oscilador harmônico:
S[x]=\int_{0}^{T} L(t)\,dt,\qquad L=\frac{m}{2}\big(\dot{x}^{2}-\omega^{2}x^{2}\big).
  • Existe uma solução da equação de movimento (trajetória clássica) x_{f}(t).
  • Consideramos variações \eta(t) definidas por x(t)=x_{f}(t)+\eta(t) com as condições de contorno
    \eta(0)=\eta(T)=0.
As tarefas pedidas são, em ordem:
  1. Mostrar que
S[x]=S[x_{f}]+\frac{m}{2}\int_{0}^{T}\big(\dot{\eta}^{2}-\omega^{2}\eta^{2}\big)\,dt.
  1. Justificar por que podemos expandir \eta(t) na série de Fourier
\eta(t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big),
e, usando essa expansão, provar que
S[x]=S[x_{f}]+\frac{mT}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\Big)C_{n}^{2}.
  1. Concluir que a ação é mínima para a trajetória física se T<\pi/\omega.
Vou desenvolver passo a passo e explicar cada técnica usada (integração por partes, ortogonalidade das senos, etc.), sem pular etapas.

Passo 2

Substituição direta na ação e expansão: escrevemos x=x_{f}+\eta na expressão da ação e expandimos os termos quadráticos. Como o lagrangiano é quadrático em x e \dot{x}, temos
S[x]=\int_{0}^{T}\frac{m}{2}\big((\dot{x}_{f}+\dot{\eta})^{2}-\omega^{2}(x_{f}+\eta)^{2}\big)\,dt.
Expandindo os quadrados:
S[x]=\int_{0}^{T}\frac{m}{2}\big(\dot{x}_{f}^{2}-\omega^{2}x_{f}^{2}\big)\,dt + \int_{0}^{T}m\big(\dot{x}_{f}\dot{\eta}-\omega^{2}x_{f}\eta\big)\,dt + \int_{0}^{T}\frac{m}{2}\big(\dot{\eta}^{2}-\omega^{2}\eta^{2}\big)\,dt.
A primeira integral é exatamente S[x_{f}]. Resta analisar a integral mista (os termos cruzados) e o termo puramente em \eta.

Passo 3

Análise da integral mista usando integração por partes e a equação de movimento de x_{f}.
A parte mista é
I_{\text{mix}}=\int_{0}^{T}m\big(\dot{x}_{f}\dot{\eta}-\omega^{2}x_{f}\eta\big)\,dt.
Vamos transformar o termo com \dot{x}_{f}\dot{\eta} por integração por partes. Aplicando integração por partes (escrevendo u=\dot{x}_{f}, v'=\dot{\eta}) obtemos
\int_{0}^{T}\dot{x}_{f}\dot{\eta}\,dt=\big[\dot{x}_{f}\eta\big]_{0}^{T}-\int_{0}^{T}\ddot{x}_{f}\eta\,dt.
Multiplicando por m e juntando com o termo -m\omega^{2}\int x_{f}\eta\,dt resulta
I_{\text{mix}}=m\big[\dot{x}_{f}\eta\big]_{0}^{T}-m\int_{0}^{T}\big(\ddot{x}_{f}+\omega^{2}x_{f}\big)\eta\,dt.
Agora usamos duas coisas fundamentais: (i) as condições de contorno \eta(0)=\eta(T)=0 tornam o termo de fronteira nulo, pois \big[\dot{x}_{f}\eta\big]_{0}^{T}=0; (ii) x_{f} satisfaz a equação de movimento do oscilador harmônico,
m\ddot{x}_{f}+m\omega^{2}x_{f}=0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot{x}_{f}+\omega^{2}x_{f}=0.
Portanto o integrando na segunda parcela é zero e obtemos I_{\text{mix}}=0.
Essa é a razão pela qual, ao expandir a ação ao redor da trajetória clássica, os termos de primeira ordem em \eta desaparecem: é exatamente a condição de estaçãoção da ação (Euler–Lagrange).

Passo 4

Conclusão da primeira parte (expressão do desvio da ação):
Como os termos mistos desaparecem, da expansão do Passo 2 ficamos com
S[x]=S[x_{f}]+\frac{m}{2}\int_{0}^{T}\big(\dot{\eta}^{2}-\omega^{2}\eta^{2}\big)\,dt,
que é justamente a igualdade pedida. Interpretação física: a diferença de ação é uma forma quadrática nas pequenas flutuações \eta.

Passo 5

Por que podemos expandir \eta(t) como
\eta(t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)?
Explicação didática e intuitiva: as funções \sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big), n=1,2,\dots, satisfazem
\sin(0)=\sin(n\pi)=0, ou seja, cumprem as mesmas condições de contorno \eta(0)=\eta(T)=0. Além disso essas funções formam uma base ortogonal e completa em L^{2}(0,T) para funções que se anulam nas extremidades (é a clássica série de Fourier apenas com senos — o chamado desenvolvimento em autofunções de problema de Dirichlet). Em termos práticos:
  • Ortogonalidade:
\int_{0}^{T}\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\sin\!\big(\tfrac{m\pi t}{T}\big)\,dt=\begin{cases} 0,& n\ne m,\\[4pt] \frac{T}{2},& n=m. \end{cases}
  • Completude: qualquer função razoável (por exemplo contínua por partes e integrável) que valha zero nas extremidades pode ser aproximada arbitrariamente bem em norma L2 por combinações lineares dessas senos.
Portanto existe uma expansão em série de senos com coeficientes dados por
C_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}\eta(t)\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\,dt.]

Passo 6

Cálculo explícito das integrais \int_{0}^{T}\dot{\eta}^{2}\,dt e \int_{0}^{T}\eta^{2}\,dt usando a expansão em senos.
Primeiro escrevemos a derivada termovisualmente:
\dot{\eta}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}\frac{n\pi}{T}\cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big).
Usamos as propriedades de ortogonalidade das funções trigonométricas. Em particular,
\int_{0}^{T}\sin\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\sin\!\big(\tfrac{m\pi t}{T}\big)\,dt=\delta_{nm}\frac{T}{2}, \qquad \int_{0}^{T}\cos\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\cos\!\big(\tfrac{m\pi t}{T}\big)\,dt=\delta_{nm}\frac{T}{2},
e produtos mistos \int_{0}^{T}\sin(\cdot)\cos(\cdot)\,dt são zero. Assim, ao integrar os quadrados, os termos cruzados n\ne m desaparecem e só restam termos diagonais.
Logo
\int_{0}^{T}\eta^{2}\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2}\int_{0}^{T}\sin^{2}\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2}\cdot\frac{T}{2} =\frac{T}{2}\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2},
e
\int_{0}^{T}\dot{\eta}^{2}\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2}\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}} \int_{0}^{T}\cos^{2}\!\big(\tfrac{n\pi t}{T}\big)\,dt =\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2}\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}\cdot\frac{T}{2} =\frac{T}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}C_{n}^{2}.
Mostrei passo a passo como cada integral reduz-se a uma soma diagonal graças à ortogonalidade.

Passo 7

Substituindo as expressões do Passo 6 na igualdade obtida no Passo 4:
Temos
S[x]=S[x_{f}]+\frac{m}{2}\Big(\int_{0}^{T}\dot{\eta}^{2}\,dt-\omega^{2}\int_{0}^{T}\eta^{2}\,dt\Big).
Inserindo as somas:
S[x]=S[x_{f}]+\frac{m}{2}\Big(\frac{T}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}C_{n}^{2} -\omega^{2}\frac{T}{2}\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}^{2}\Big).
Fatorando \frac{mT}{4} e agrupando os termos em cada n obtemos
S[x]=S[x_{f}]+\frac{mT}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\Big)C_{n}^{2},
que é exatamente a expressão pedida.
Interpretação: a diferença de ação é uma soma sobre modos normais n, cada modo contribuindo com um termo quadrático em C_{n} com coeficiente \frac{mT}{4}\big(\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\big).

Passo 8

Condição de minimalidade e conclusão final.
Para que x_{f} seja um mínimo da ação em relação a variações com \eta(0)=\eta(T)=0, precisamos que para qualquer variação admissível \eta a diferença S[x]-S[x_{f}] seja não negativa. Como essa diferença é uma soma de termos quadráticos independentes em C_{n}, a condição é que todos os coeficientes na soma sejam não negativos:
\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\ge 0\quad\text{para todo }n\ge 1.
O caso mais restritivo é n=1. Assim basta exigir
\frac{\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad T<\frac{\pi}{\omega}.
Se T=\pi/\omega o coeficiente do modo n=1 é zero (direção degenerada — modo neutro); se T>\pi/\omega então o coeficiente para n=1 é negativo, o que significa que existem variações que diminuem a ação (a trajetória é então uma sela e não um mínimo).
Portanto concluímos que a ação é mínima para a trajetória física x_{f} se T<\pi/\omega. Força aí — é um resultado bonito: o intervalo de tempo deve ser curto o bastante para que a trajetória clássica seja um mínimo estrito da ação.

Resposta

S[x]=S[x_{f}]+\dfrac{m}{2}\displaystyle\int_{0}^{T}\big(\dot{\eta}^{2}-\omega^{2}\eta^{2}\big)\,dt\n
S[x]=S[x_{f}]+\dfrac{mT}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\Big(\dfrac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}-\omega^{2}\Big)C_{n}^{2}\n
A ação é mínima para a trajetória física se T<\dfrac{\pi}{\omega}.

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