(1,0 ponto) Em t1=2,0 s, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é 6,0 m / s^2 i+4,0 m / s^2 j. Ela se move com velocidade escalar constante. Em t2=5,0 s, sua aceleração é 4,0 m / s^2 i-6,0 m / s^2 j. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t2-t1 é menor que um período?

Passo 1

O enunciado trata de um movimento circular uniforme (velocidade escalar constante), em que a aceleração é puramente centrípeta, de módulo
ac = v^2R
e sempre apontando para o centro da curva. Temos as acelerações nos instantes t1=2,0 s e t2=5,0 s, e o intervalo De<a t = t2 - t1 = 3,0 s é menor que o período (logo o deslocamento angular De<atheta<2pi). Da variação de direção de vec a achamos o deslocamento angular, daí omega=De<atheta/De<a t, e como também omega^2R=ac conseguimos R.

Passo 2

Calcular o módulo da aceleração, que é o mesmo nos dois instantes por ser MCU:
|vec a1| = raiz(6,0)^2 + (4,0)^2 = raiz36 + 16 = raiz52 = 2raiz13 m/s^2
Logo
ac = 2raiz13 m/s^2

Passo 3

Determinar o deslocamento angular De<atheta a partir da mudança de direção de vec a. Como
vec a1 = 6,hatimath + 4,hatjmath, vec a2 = 4,hatimath - 6,hatjmath,
o cosseno do ângulo entre eles é
cosDe<atheta = vec a1cdot vec a2|vec a1|,|vec a2| = 6cdot4 + 4cdot(-6)(2raiz13)^2 = 24 - 2452 = 0,
logo
De<atheta = pi2 rad

Passo 4

Da definição de velocidade angular constante em MCU:
omega = De<athetaDe<a t = pi/23,0 = pi6 rad/s

Passo 5

Usar a relação centrípeta
ac = omega^2 R Longrightarrow R = acomega^2
Substituindo ac = 2raiz13 e omega = pi/6:
R = 2raiz13(pi/6)^2 = 2raiz13,36pi^2 = 72raiz13pi^2 m approx 26,3 m

Resposta

O raio da trajetória é
R = 72raiz13pi^2 m approx 26,3 m

Exercícios relacionados