Determine o diâmetro de uma tubulação com 350 m de comprimento e rugosidade de 0,10 mm escoando uma vazāo 8,5 m^3 / s a temperatura de 20^circ C com perda de carga de 3,20 m.

Passo 1

Resumo do enunciado e dados principais
Queremos o diâmetro D de uma tubulação de comprimento L=350,m e rugosidade absoluta epsilon=0,10,mm, que transporta vazão Q=8,5, m^3/s de água a 20^circ!C (viscosidade cinemática nu=1,004times10^-6, m^2/s) com perda de carga hf=3,20,m. Para isso usaremos a equação de Darcy–Weisbach e a equação de Colebrook para o fator de atrito f.

Passo 2

Equação de Darcy–Weisbach e velocidade média
A perda de carga é dada por
hf = f,LD,V^22,g
e a velocidade média V relaciona-se com Q por
V = 4,Qpi,D^2,

Passo 3

Número de Reynolds e equação de Colebrook
O número de Reynolds é
Re = V,Dnu,,
e o fator de atrito f resulta implicitamente de
1raizf = -2,log10!l(epsilon3,7,D + 2,51Re,raizfr),

Passo 4

Aproximação no regime totalmente turbulento (regime áspero)
Para Re>rsim10^6 e epsilon/D>rsim10^-5 o segundo termo dentro do logaritmo é desprezível, logo
1raizf approx -2,log10!l(epsilon3,7,Dr) Longrightarrow f approx 1l[-2log10(epsilon/(3,7,D))r]^2,

Passo 5

Rearranjo para D e primeira estimativa
Substituindo V e f aproximado em Darcy e isolando D, obtemos
hf = f,LD,l(tfrac4Qpi D^2r)^22g ;Longrightarrow; D^5 = f,L,(4Q/pi)^22g,hf,
Usando como chute inicial fapprox0,012 (valor típico para áspero), calculamos
D^5 approx 0,012cdot350cdotl(4cdot8,5/pir)^22cdot9,81cdot3,20 approx 7,83 Longrightarrow D approx 7,83^1/5 approx 1,51 m

Passo 6

Iteração final para convergência
Com D=1,51,m recalculamos
epsilon/(3,7D)approx1,8times10^-5,
,1/raizfapprox9,49Rightarrow fapprox0,0111,
e então
D^5 approx 0,0111cdot350cdot(4cdot8,5/pi)^22cdot9,81cdot3,20approx7,31
Longrightarrow Dapprox7,31^1/5approx1,49 m

Resposta

O diâmetro da tubulação é aproximadamente 1,49,m.

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