Considere a mesma função dada na questão anterior: f(x, y)=14 a x^4+y^22-b x y, com a e b números reais.
Considere as afirmações abaixo.
I) Se a>0 e b=0, então (0,0) é ponto de máximo global de f.
II) Se a=b=0, então f tem infinitos pontos críticos, todos pontos de mínimo global.
III) Se a<0 e b=0, então f tem um único ponto crítico que é ponto de sela.
É correto apenas o que se afirma em
II) e III).
B todas.
C I) e III).
D I).
E I) e II).

Passo 1

O enunciado define a função f(x,y)=a4x^4+y^22-bxy e pede para avaliar três afirmações sobre tipos de ponto (máximo, mínimo, sela) conforme os parâmetros a e b. Vamos usar derivadas parciais, o Hessiano e o comportamento da função para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Para I), tomamos a>0 e b=0. Assim f(x,y)=tfraca4x^4+tfracy^22, que é sempre não-negativa e atinge o valor mínimo 0 em (0,0). Logo, (0,0) é mínimo global, não máximo. Portanto I) é falsa.

Passo 3

Para II), tomamos a=b=0. Fica f(x,y)=tfracy^22. As derivadas são
partial fpartial x=0,partial fpartial y=y,
e a condição de ponto crítico exige y=0 mas não restringe x. Logo há infinitos pontos críticos (x,0). Como f(x,y)>=0 e em (x,0) vale 0, são mínimos globais. Portanto II) é verdadeira.

Passo 4

Para III), tomamos a<0 e b=0. Fica f(x,y)=tfraca4x^4+tfracy^22. As derivadas dão única solução (0,0). No eixo x, f(epsilon,0)=aepsilon^4/4<0 (valor abaixo de zero), mas no eixo y, f(0,epsilon)=epsilon^2/2>0. Isso caracteriza ponto de sela. Logo III) é verdadeira.

Passo 5

Como apenas II) e III) são corretas, a alternativa certa é a que afirma somente II) e III).

Resposta

A

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