Considere a mesma função dada na questão anterior:
, com
e
números reais.
Considere as afirmações abaixo.
I) Se
e
, então
é ponto de máximo global de
.
II) Se
, então
tem infinitos pontos críticos, todos pontos de mínimo global.
III) Se
e
, então
tem um único ponto crítico que é ponto de sela.
É correto apenas o que se afirma em
II) e III).
B todas.
C I) e III).
D I).
E I) e II).
Considere as afirmações abaixo.
I) Se
II) Se
III) Se
É correto apenas o que se afirma em
II) e III).
B todas.
C I) e III).
D I).
E I) e II).
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para avaliar três afirmações sobre tipos de ponto (máximo, mínimo, sela) conforme os parâmetros
e
. Vamos usar derivadas parciais, o Hessiano e o comportamento da função para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Para I), tomamos
e
. Assim
, que é sempre não-negativa e atinge o valor mínimo
em
. Logo,
é mínimo global, não máximo. Portanto I) é falsa.
Passo 3
Para II), tomamos
. Fica
. As derivadas são
e a condição de ponto crítico exige
Passo 4
Para III), tomamos
e
. Fica
. As derivadas dão única solução
. No eixo
,
(valor abaixo de zero), mas no eixo
,
. Isso caracteriza ponto de sela. Logo III) é verdadeira.
Passo 5
Como apenas II) e III) são corretas, a alternativa certa é a que afirma somente II) e III).
Resposta
A