A -32^{\circ} \mathrm{C} a pressão de vapor do propano puro é 1200 torr e do butano puro é 200 torr. a) Calcule a fração molar do propano na mistura líquida que entra em ebulição a -32^{\circ} \mathrm{C}, sob uma pressão de 760 torr. b) Calcule a fração molar do propano no vapor em equilíbrio com o líquido do item a.

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Temperatura: -32^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão de vapor do propano puro àquela temperatura: P^\ast_{\text{propano}} = 1200\\ \text{torr}.
    • Pressão de vapor do butano puro àquela temperatura: P^\ast_{\text{butano}} = 200\\ \text{torr}.
    • Pressão externa (total) à qual o sistema entra em ebulição: P_{\text{tot}}=760\\ \text{torr}.
  • O enunciado pede:
    (a) A fração molar do propano na mistura líquida que está em ebulição a -32^\circ\mathrm{C} sob 760\\ \text{torr}.
    (b) A fração molar do propano no vapor em equilíbrio com esse líquido.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Fração molar: para uma mistura binária, a fração molar do propano no líquido chamo de x_{\text{prop}} e do butano x_{\text{but}}. Valem:
    x_{\text{prop}} + x_{\text{but}} = 1.
    Isto significa que, se x_{\text{prop}}=0{,}6, então x_{\text{but}}=0{,}4, por exemplo.
  • Lei de Raoult (para soluções ideais): para cada componente em equilíbrio líquido–vapor, a pressão parcial do componente no vapor é igual à fração molar do componente no líquido multiplicada pela pressão de vapor do componente puro àquela temperatura. Em fórmula:
    p_i = x_i\,P_i^\ast,
    onde:
    • p_i é a pressão parcial do componente i no vapor;
    • x_i é a fração molar de i na fase líquida;
    • P_i^\ast é a pressão de vapor do componente puro à temperatura dada.
    Para uma mistura binária (propano + butano), teremos
    p_{\text{prop}} = x_{\text{prop}}\,P^\ast_{\text{propano}}, \qquad p_{\text{but}} = x_{\text{but}}\,P^\ast_{\text{butano}}.
  • Pressão total e Dalton: a pressão total do vapor em equilíbrio é a soma das pressões parciais:
    P_{\text{tot}} = p_{\text{prop}} + p_{\text{but}}.
  • Fração molar do vapor (no vapor): a fração molar do propano na fase vapor, y_{\text{prop}}, é dada por
    y_{\text{prop}}=\frac{p_{\text{prop}}}{P_{\text{tot}}}.
Vou aplicar essas fórmulas com os números do enunciado.

Passo 3

Escrevendo a equação do equilíbrio total usando Raoult e a soma das pressões.
Substituindo p_{\text{prop}} = x_{\text{prop}}P^\ast_{\text{propano}} e p_{\text{but}}=(1-x_{\text{prop}})P^\ast_{\text{butano}} na expressão da pressão total:
P_{\text{tot}} = x_{\text{prop}}\,P^\ast_{\text{propano}} + (1-x_{\text{prop}})\,P^\ast_{\text{butano}}.
Agora vamos pôr os valores numéricos: P_{\text{tot}}=760\\ \text{torr}, P^\ast_{\text{propano}}=1200\\ \text{torr}, P^\ast_{\text{butano}}=200\\ \text{torr}. Então
760 = x_{\text{prop}}\cdot 1200 + (1-x_{\text{prop}})\cdot 200.

Passo 4

Resolver a equação para x_{\text{prop}} passo a passo (álgebra elemento a elemento).
Desenvolvendo o lado direito:
760 = 1200\,x_{\text{prop}} + 200 - 200\,x_{\text{prop}}.
Combine os termos em x_{\text{prop}}:
760 = (1200-200)\,x_{\text{prop}} + 200 = 1000\,x_{\text{prop}} + 200.
Subtraia 200 de ambos os lados:
760 - 200 = 1000\,x_{\text{prop}} \quad\Rightarrow\quad 560 = 1000\,x_{\text{prop}}.
Divida por 1000:
x_{\text{prop}} = \frac{560}{1000} = 0{,}560.
Portanto a fração molar do propano no líquido é x_{\text{prop}}=0{,}560.

Passo 5

Interpretação rápida do resultado do item (a) (intuição física).
  • x_{\text{prop}}=0{,}560 significa que a mistura líquida que ferve a 760\\ \text{torr} tem 56{,}0\% dos mols como propano e 44{,}0\% como butano.
  • Faz sentido que haja mais propano na mistura líquida do que butano? Sim: propano é muito mais volátil aqui ( P^\ast_{\text{propano}}=1200\\ \text{torr} vs 200\\ \text{torr}), então é preciso uma fração líquida menor de butano (com baixa volatilidade) para baixar a pressão total até 760\\ \text{torr}.

Passo 6

Agora calculamos a fração molar do propano no vapor em equilíbrio, y_{\text{prop}}. Relembrando a fórmula:
y_{\text{prop}} = \frac{p_{\text{prop}}}{P_{\text{tot}}} \qquad\text{com}\qquad p_{\text{prop}} = x_{\text{prop}}\,P^\ast_{\text{propano}}.
Já temos x_{\text{prop}}=0{,}560, então
p_{\text{prop}} = 0{,}560 \times 1200\\ \text{torr}.

Passo 7

Calcular numericamente p_{\text{prop}} e depois y_{\text{prop}}, mostrando contas sem pular passos.
Multiplicando:
p_{\text{prop}} = 0{,}560 \times 1200 = 672\\ \text{torr}.
Agora
y_{\text{prop}} = \frac{672}{760}.
Podemos simplificar a fração dividindo por 4:
\frac{672}{760} = \frac{168}{190} = \frac{84}{95}.
Como decimal:
y_{\text{prop}} \approx 0{,}88421\ldots
Arredondando razoavelmente (3 casas decimais):
y_{\text{prop}} \approx 0{,}884.
Ou em porcentagem: 88{,}4\% do vapor é propano.

Passo 8

Intuição final e verificação rápida de consistência.
  • O vapor está muito enriquecido em propano ( y_{\text{prop}}\approx0{,}884) porque propano é muito mais volátil (maior pressão de vapor) que o butano; isso é exatamente o que a teoria prevê: o componente mais volátil tem fração maior na fase vapor do que na fase líquida.
  • Verificação simples: as pressões parciais somam 672\\ \text{torr} + (760-672)=760\\ \text{torr}, ok. Além disso, y_{\text{prop}} está entre 0 e 1 e maior que x_{\text{prop}} (0,884 > 0,560), coerente.

Resposta

x_{\text{prop}} = 0{,}560
y_{\text{prop}} \approx 0{,}884

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