O benzeno e o tolueno formam soluções ideais. A 300 K , a pressão de vapor do tolueno puro é 32 torr e do benzeno puro é 103 torr. Responda aos itens abaixo: a) uma mistura líquida é composta de 3 mol de tolueno e 2 mol de benzeno. Se a pressão sobre a mistura a 300 K for reduzida, a que pressão se formará o primeiro vapor?
b) qual a composição dos primeiros traços de vapor formados?
c) Se a pressão for reduzida ainda mais, a que pressão desaparecerá o último traço de líquido.
d) qual a composição do último traço de líquido?
e) quais serão a pressão, a composição do líquido e a composição da fase vapor quando 1 mol da mistura for vaporizado?

Passo 1

O enunciado e os dados que temos (tirei todos os números do enunciado):
  • Dois componentes: tolueno (T) e benzeno (B).
  • Temperatura fixa: 300\\ \text{K}.
  • Pressões de vapor dos puros à 300\\ \text{K}:
    • P_T^{*}=32\\ \text{torr} (tolueno puro).
    • P_B^{*}=103\\ \text{torr} (benzeno puro).
  • Mistura líquida inicial: 3 mol de tolueno e 2 mol de benzeno (total 5 mol).
O enunciado pede 5 coisas:
a) A que pressão se formará o primeiro vapor quando a pressão sobre a mistura for reduzida.
b) A composição dos primeiros traços de vapor formados.
c) A que pressão desaparecerá o último traço de líquido, ao reduzir ainda mais a pressão.
d) A composição do último traço de líquido.
e) Quando 1 mol da mistura for vaporizado, qual será a pressão e as composições da fase líquida e da fase vapor nesse equilíbrio.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e as definições):
  • Raoult (para soluções ideais): a pressão parcial de cada componente no equilíbrio vapor–líquido é
p_i = x_i\,P_i^{*},
onde p_i é a pressão parcial do componente i, x_i é a fração molar do componente i na fase líquida e P_i^{*} é a pressão de vapor do componente puro à mesma temperatura.
  • Pressão total do vapor é a soma das parciais (lei de Dalton):
P = \sum_i p_i = \sum_i x_i P_i^{*}.
  • Fração molar na fase vapor:
y_i = \frac{p_i}{P} = \frac{x_i P_i^{*}}{P}.
Explicando as variáveis: x_i e y_i são frações molares (número de mols do componente dividido pelo total de mols da respectiva fase). P é a pressão total do vapor em equilíbrio com o líquido.
Primeiro passo prático: calcular as frações molares iniciais no líquido (peguei os números das quantidades dadas).
x_T=\frac{3}{5}=0,6,\qquad x_B=\frac{2}{5}=0,4.

Passo 3

O primeiro vapor aparece quando a pressão acima da mistura é reduzida até que o líquido comece a “ferver” (formar uma fase vapor). Isso acontece quando a pressão parcial somada dada por Raoult (a pressão de bolha) iguala a pressão externa. Portanto calculamos a pressão total de equilíbrio para a mistura líquida inicial:
P_{\text{bolha}}=x_T P_T^{*}+x_B P_B^{*}.
Substituindo os números:
P_{\text{bolha}}=0,6\cdot 32 + 0,4\cdot 103.
Calcule passo a passo:
0,6\cdot32=19,2, \qquad 0,4\cdot103=41,2,
P_{\text{bolha}}=19,2+41,2=60,4\\ \text{torr}.
Portanto, ao reduzir a pressão, o primeiro vapor se forma a 60,4\\ \text{torr}.

Passo 4

Usamos y_i = \dfrac{x_i P_i^{*}}{P}. Já temos P=60,4\\ \text{torr}.
  • Para o tolueno:
y_T=\frac{x_T P_T^{*}}{P}=\frac{0,6\cdot32}{60,4}=\frac{19,2}{60,4}\approx0,318.
  • Para o benzeno:
y_B=\frac{x_B P_B^{*}}{P}=\frac{0,4\cdot103}{60,4}=\frac{41,2}{60,4}\approx0,682.
Verificação rápida: y_T+y_B\approx0,318+0,682=1,00. Nota conceitual: o vapor é mais rico em benzeno (componente mais volátil, maior P^*).

Passo 5

Raciocínio físico: ao reduzir a pressão e fazer evaporar progressivamente, o vapor é sempre mais rico no componente mais volátil (benzeno), então a fase líquida que sobra vai ficando progressivamente enriquecida no componente menos volátil (tolueno). O último traço de líquido a vaporizar será praticamente puro no componente menos volátil (tolueno). Assim o último traço de líquido desaparece quando a pressão atinge a pressão de vapor do tolueno puro (o ponto onde tolueno puro ferve), ou seja:
P_{\text{último líquido}}=P_T^{*}=32\\ \text{torr}.úí
E a composição do último traço de líquido é praticamente tolueno puro:
x_T=1,\qquad x_B=0.

Passo 6

Agora vamos fazer o caso prático e quantificar: começamos com n_T^{(0)}=3 mol e n_B^{(0)}=2 mol, total 5 mol. Vaporizam n_{\text{vap,tot}}=1 mol; portanto sobra n_{\ell,\text{tot}}=4 mol em líquido. Queremos encontrar a pressão P, a composição da fase líquida x_i e da fase vapor y_i nesse equilíbrio à 300\\ \text{K}.
Definimos:
  • n_{\text{vap},T}=y_T\cdot n_{\text{vap,tot}}=y_T\cdot1=y_T (como n_{\text{vap,tot}}=1, o número de mols de cada componente no vapor é numericamente igual à fração molar y_i).
  • n_{\ell,T}=3-n_{\text{vap},T}=3-y_T.
  • n_{\ell,B}=2-n_{\text{vap},B}=2-(1-y_T)=1+y_T.
  • Fração molar do tolueno na fase líquida:
x_T=\frac{n_{\ell,T}}{n_{\ell,\text{tot}}}=\frac{3-y_T}{4}.
  • Fração molar do benzeno na fase líquida:
x_B=\frac{1+y_T}{4}.
Equilíbrio entre fases (razão y_T/y_B a partir de Raoult e Dalton):
\frac{y_T}{y_B}=\frac{x_T P_T^{*}}{x_B P_B^{*}}.
Como y_B=1-y_T, substituímos x_T e x_B:
\frac{y_T}{1-y_T} =\frac{\dfrac{3-y_T}{4}\,P_T^{*}}{\dfrac{1+y_T}{4}\,P_B^{*}} =\frac{3-y_T}{1+y_T}\cdot\frac{P_T^{*}}{P_B^{*}}.
Os fatores 1/4 cancelam. Substituímos \;P_T^{*}=32\; e \;P_B^{*}=103\;:
\frac{y_T}{1-y_T}=\frac{3-y_T}{1+y_T}\cdot\frac{32}{103}.

Passo 7

Multiplicando em cruz e simplificando obtemos uma equação quadrática. Faço todo o desenvolvimento algébrico:
y_T(1+y_T)\cdot103=(1-y_T)(3-y_T)\cdot32.
Expando ambos os lados:
103(y_T+y_T^2)=32(3-4y_T+y_T^2).
103y_T+103y_T^2=96-128y_T+32y_T^2.
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
103y_T^2-32y_T^2 +103y_T +128y_T -96=0.
71y_T^2+231y_T-96=0.
Resolvendo a quadrática usando a fórmula:
y_T=\frac{-231\pm\sqrt{231^2-4\cdot71\cdot(-96)}}{2\cdot71} =\frac{-231\pm\sqrt{80625}}{142}.
A raiz física é a positiva:
y_T\approx0,373\\ (\text{aprox. }0,3726).
Logo y_B=1-y_T\approx0,627.

Passo 8

Com y_T\approx0,3726:
x_T=\frac{3-y_T}{4}=\frac{3-0,3726}{4}\approx0,6568,
x_B=\frac{1+y_T}{4}=\frac{1+0,3726}{4}\approx0,3432.
Agora a pressão total em equilíbrio é
P=x_T P_T^{*}+x_B P_B^{*}
P\approx0,6568\cdot32+0,3432\cdot103.
Calcule passo a passo:
0,6568\cdot32\approx21,02,\qquad 0,3432\cdot103\approx35,34,
P\approx21,02+35,34=56,36\\ \text{torr}.
Checagem: y_T também deve ser p_T/P com p_T=x_T P_T^{*}:
p_T\approx0,6568\cdot32\approx21,02, \qquad \frac{p_T}{P}\approx\frac{21,02}{56,36}\approx0,373,
coerente com y_T dentro do arredondamento.

Resposta

a) 60,4\\ \text{torr}
b) y_{\text{tolueno}}\approx0,318,\quad y_{\text{benzeno}}\approx0,682
c) 32\\ \text{torr}
d) x_{\text{tolueno}}=1,\quad x_{\text{benzeno}}=0
e) P\approx56,36\\ \text{torr};\quad x_{\text{tolueno}}\approx0,6568,\;x_{\text{benzeno}}\approx0,3432;\quad y_{\text{tolueno}}\approx0,3726,\;y_{\text{benzeno}}\approx0,6274

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