2- (1,0 ponto) -Uma única força conservativa de módulo F(x) age sobre uma partícula de 1,0 kg que se move ao longo do eixo x. A energia potencial U(x) associada a F(x) é dada por U(x)=-2 x e^-x / 4, onde x está em metros e U em Joules. (a) Se em x=5,0 m a partícula possui energia cinética de 20,0 J, qual a energia mecânica do sistema? (b) Encontre uma expressão para a força F, em função de x. (c) Para qual valor finito de x a variação espacial da energia potencial da partícula é nula?

Passo 1

O enunciado nos dá que uma partícula de massa 1,0,kg move-se ao longo do eixo x sob força conservativa cuja energia potencial é
U(x) = -2,x,e^-x/4,
com x em metros e U em joules. Precisamos (a) calcular a energia mecânica E em x=5,0,m sabendo que a energia cinética ali é K=20,0,J; (b) achar a força vec F(x) via F(x)=-dUdx; (c) encontrar o x tal que a variação espacial de U seja nula, ou seja dUdx=0.

Passo 2

Para (a) usamos
E = K + U(5,0)
Calculando
U(5,0) = -2 cdot 5 , e^-5/4 = -10,e^-1,25(J),
logo
E = 20,0 - 10,e^-1,25approx 20,0 - 10cdot0,2865 = 17,13(J)

Passo 3

Para (b) derivamos U(x) pela regra do produto. Como
U(x) = -2,x,e^-x/4,
temos
dUdx = -2,e^-x/4 ;+; (-2,x)cdotl(-tfrac14 e^-x/4r) = e^-x/4l(-2 + tfracx2r)

Passo 4

Logo a força é
F(x) = -dUdx = -,e^-x/4l(-2 + tfracx2r) = e^-x/4l(2 - tfracx2r)

Passo 5

Para (c) queremos dUdx=0, isto é
e^-x/4l(-2 + tfracx2r)=0
Como e^-x/4neq0, fica -2 + x/2 = 0, então
x/2 = 2 Longrightarrow x = 4,0;m

Resposta

(a) E = 20,0 - 10,e^-1,25approx 17,13,J
(b) F(x) = e^-x/4l(2 - tfracx2r)
(c) x = 4,0,m

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