EXEMPLO 29.7 Um próton em um capacitor
Um capacitor de placas paralelas é construido com dois discos de 2.0 cm de diâmetro espaçados por 2,0 mm de distância. Ele é carregado sob uma diferença de potencial de 500 V .
a. Qual é a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor?
b. Que quantidade de carga existe sobre cada placa?
c. Um próton é arremessado através de um pequeno orificio existente na placa negativa com uma velocidade de 2,0 times 10^3 m / s. Ele alcançará a outra placa? Em caso negativo, onde será o ponto de retorno?

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas formadas por discos de diâmetro 2,0 cm (logo raio r=1,0 cm) separados por d=2,0 mm, sob diferença de potencial V=500 V. O conteúdo aqui envolve:
– campo elétrico uniforme entre placas: E=V/d;
– capacitância de placas paralelas: C=varepsilon0A/d com A=pi r^2;
– carga em cada placa: Q=C,V;
– movimento de partícula carregada em campo elétrico e conservação de energia: tfrac12mv^2=qEx.

Passo 2

Para achar a intensidade do campo elétrico usamos
E=Vd
com V=500 V e d=2,0 mm=2,0times10^-3 m. Assim
E=5002,0times10^-3=2,5times10^5 V/m

Passo 3

Calculamos a capacitância e a carga em cada placa. Primeiro a área
A=pi r^2=pi,(0,01 m)^2=3,14times10^-4 m^2
Então
C=varepsilon0Ad =8,85times10^-12,F/m;times3,14times10^-4,m^22,0times10^-3,m approx1,39times10^-12 F,
e a carga em cada placa é
Q=C,Vapprox1,39times10^-12 F;times500 V =6,9times10^-10 C

Passo 4

Para a trajetória do próton, usamos conservação de energia: a energia cinética inicial
K=12mv^2 =12(1,67times10^-27,kg)(2,0times10^3,m/s)^2 approx3,34times10^-21 J
será consumida pelo trabalho da força elétrica qE ao deslocar-se uma distância x, ou seja
tfrac12mv^2=q,E,x Longrightarrow x=tfrac12mv^2qE
Substituindo q=1,60times10^-19 C e E=2,5times10^5 V/m,
x=3,34times10^-21(1,60times10^-19)(2,5times10^5) approx8,3times10^-8 m
Como xll d, o próton não alcança a placa positiva; o ponto de retorno fica a 8,3times10^-8 m da placa negativa.

Resposta

(a) E=2,5times10^5 V/m
(b) Q=6,9times10^-10 C
(c) Não; o ponto de retorno situa-se a 8,3times10^-8 m da placa negativa.

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