3-(1,0 ponto) -A energia potencial associada a um movimento tridimensional de um corpo é dada por U(x, y, z)=-50 x^2 y^1 / 2 z^8. Calcule expressões para as componentes da força atuando no corpo, quando este se encontra em x=1, y=4 e z=6

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(x,y,z)=-50,x^2,y^1/2,z^8
e pede as componentes da força em (1,4,6). Em campos conservativos a força é dada por
F=-nabla U,
isto é, precisamos calcular as derivadas parciais de U.

Passo 2

Derivada parcial em relação a x:
partial Upartial x = -50 cdot 2x cdot y^1/2 cdot z^8 = -100,x,y^1/2,z^8,
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Fx = -partial Upartial x =100,x,y^1/2,z^8

Passo 3

Derivada parcial em relação a y:
partial Upartial y = -50,x^2cdottfrac12,y^-1/2cdot z^8 = -25,x^2,y^-1/2,z^8,
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Fy = -partial Upartial y =25,x^2,y^-1/2,z^8

Passo 4

Derivada parcial em relação a z:
partial Upartial z = -50,x^2,y^1/2cdot 8,z^7 = -400,x^2,y^1/2,z^7,
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Fz = -partial Upartial z =400,x^2,y^1/2,z^7

Passo 5

Avaliação em (x,y,z)=(1,4,6). Note que
y^1/2=2, y^-1/2=tfrac12, z^7=6^7=279936, z^8=6^8=1679616
Então
Fx(1,4,6)=100cdot1cdot2cdot1679616=335923200,
Fy(1,4,6)=25cdot1^2cdottfrac12cdot1679616=20995200,
Fz(1,4,6)=400cdot1^2cdot2cdot279936=223948800

Resposta

Fx(1,4,6)=335923200, Fy(1,4,6)=20995200, Fz(1,4,6)=223948800

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