(1,0 ponto) Usando o TVI, mostre que a equação
tem três raízes reais distintas.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e mostrar que a equação
tem três raízes reais distintas. Como essa expressão define um polinômio de grau 3, a função
é contínua em todo
. Pelo TVI, sempre que encontrarmos
tais que
, existe pelo menos uma raiz em
.
Passo 2
Vamos achar o primeiro intervalo trocando o sinal de
. Calcule
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
Passo 3
Para achar a segunda raiz, note que
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
Passo 4
Para a terceira raiz, calcule
Como
e
, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
Passo 5
Encontramos três intervalos disjuntos
onde
muda de sinal. Portanto existem pelo menos três raízes reais. Como esses intervalos não se sobrepõem, cada raiz está em um intervalo diferente, logo são três raízes reais e distintas.
Resposta
A equação
tem três raízes reais distintas localizadas em
,
e
.