(1,0 ponto) Usando o TVI, mostre que a equação -4 x^3+9 x+3=0 tem três raízes reais distintas.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e mostrar que a equação
-4x^3 + 9x + 3 = 0
tem três raízes reais distintas. Como essa expressão define um polinômio de grau 3, a função
f(x) = -4x^3 + 9x + 3
é contínua em todo R. Pelo TVI, sempre que encontrarmos a<b tais que f(a)cdot f(b)<0, existe pelo menos uma raiz em (a,b).

Passo 2

Vamos achar o primeiro intervalo trocando o sinal de f. Calcule
f(-2) = -4(-2)^3 + 9(-2) + 3 = -4(-8) -18 +3 = 32 -18 +3 = 17 > 0,
f(-1) = -4(-1)^3 + 9(-1) + 3 = -4(-1) -9 +3 = 4 -9 +3 = -2 < 0
Como f(-2)>0 e f(-1)<0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
(-2,, -1)

Passo 3

Para achar a segunda raiz, note que
f(-1) = -2 <0 e f(0) = -4cdot0^3 +9cdot0 +3 = 3 >0
Como f(-1)<0 e f(0)>0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
(-1,, 0)

Passo 4

Para a terceira raiz, calcule
f(0) = 3 >0 e f(2) = -4cdot2^3 +9cdot2 +3 = -32 +18 +3 = -11 <0
Como f(0)>0 e f(2)<0, pelo TVI existe pelo menos uma raiz em
(0,, 2)

Passo 5

Encontramos três intervalos disjuntos
(-2,-1),(-1,0),(0,2)
onde f muda de sinal. Portanto existem pelo menos três raízes reais. Como esses intervalos não se sobrepõem, cada raiz está em um intervalo diferente, logo são três raízes reais e distintas.

Resposta

A equação -4x^3+9x+3=0 tem três raízes reais distintas localizadas em (-2,-1), (-1,0) e (0,2).

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