( 1,0 ponto) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede que eu use o Teste da Integral para decidir se a série
é convergente ou divergente. Informações dadas/úteis: a série tem termo geral
para
, e o enunciado explicitamente solicita o uso do Teste da Integral (ou seja, devemos comparar com a integral imprópria correspondente).
Passo 2
Vou enunciar com clareza o Teste da Integral (fórmula e condições), porque precisamos entender os requisitos antes de aplicá‑lo. Seja
uma função tal que:
Se
para todo
, então o Teste da Integral diz que a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (isto é, tem valor finito). Se a integral diverge, a série também diverge. Explicando as variáveis:
é a função contínua que estendemos do termo geral
para os reais;
é o termo da série; o limite da integral avalia o comportamento no infinito.
Passo 3
Escolho a função que corresponde ao termo geral:
Verifico as condições do teste:
- Continuidade:
é contínua para todo , portanto é contínua em . - Positividade: para
temos . - Monotonicidade decrescente: calculo a derivada para mostrar que
é decrescente. A derivada é
Como
para todo
, a função é estritamente decrescente em
.
Logo, todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Logo, todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Agora aplico o Teste da Integral: preciso estudar a integral imprópria
Isso significa calcular o limite
Encontro uma primitiva de
. Lembrando que para
com
a primitiva é
, aqui
e portanto
Avalio a integral definida de
até
:
Agora faço o limite quando
:
Como esse limite é finito, a integral imprópria converge (seu valor é
).
Passo 5
Pelo Teste da Integral (já que
satisfaz as hipóteses e a integral converge), a série
converge. Observação rápida para intuição: essa série é um caso de série
-série
com
, e sabe‑se que toda
-série com
converge — isso confirma o resultado obtido pelo Teste da Integral.