( 1,0 ponto) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu use o Teste da Integral para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
é convergente ou divergente. Informações dadas/úteis: a série tem termo geral a_{n}=\frac{1}{n^{3}} para n\ge1, e o enunciado explicitamente solicita o uso do Teste da Integral (ou seja, devemos comparar com a integral imprópria correspondente).

Passo 2

Vou enunciar com clareza o Teste da Integral (fórmula e condições), porque precisamos entender os requisitos antes de aplicá‑lo. Seja f(x) uma função tal que:
\text{(i) } f(x)\text{ é contínua para }x\ge 1,éí
\text{(ii) } f(x)>0\text{ para }x\ge 1,
\text{(iii) } f(x)\text{ é decrescente para }x\ge 1.é
Se a_{n}=f(n) para todo n\ge1, então o Teste da Integral diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} f(n)
converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (isto é, tem valor finito). Se a integral diverge, a série também diverge. Explicando as variáveis: f(x) é a função contínua que estendemos do termo geral a_n para os reais; a_n é o termo da série; o limite da integral avalia o comportamento no infinito.

Passo 3

Escolho a função que corresponde ao termo geral:
f(x)=\frac{1}{x^{3}},\qquad x\ge1.
Verifico as condições do teste:
  • Continuidade: f(x)=x^{-3} é contínua para todo x\neq0, portanto é contínua em [1,\infty).
  • Positividade: para x\ge1 temos f(x)>0.
  • Monotonicidade decrescente: calculo a derivada para mostrar que f é decrescente. A derivada é
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}\bigr)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}.
Como -\dfrac{3}{x^{4}}<0 para todo x\ge1, a função é estritamente decrescente em [1,\infty).
Logo, todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Agora aplico o Teste da Integral: preciso estudar a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}}\,dx.
Isso significa calcular o limite
\lim_{t\to\infty} \int_{1}^{t} x^{-3}\,dx.
Encontro uma primitiva de x^{-3}. Lembrando que para x^{p} com p\neq -1 a primitiva é \dfrac{x^{p+1}}{p+1}, aqui p=-3 e portanto
\int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}+C.
Avalio a integral definida de 1 até t:
\int_{1}^{t} x^{-3}\,dx=\left[-\frac{1}{2x^{2}}\right]_{1}^{t}=-\frac{1}{2t^{2}}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2t^{2}}+\frac{1}{2}.
Agora faço o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}\left(-\frac{1}{2t^{2}}+\frac{1}{2}\right)=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como esse limite é finito, a integral imprópria converge (seu valor é \tfrac{1}{2}).

Passo 5

Pelo Teste da Integral (já que f satisfaz as hipóteses e a integral converge), a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}
converge. Observação rápida para intuição: essa série é um caso de série p-série \sum 1/n^{p} com p=3>1, e sabe‑se que toda p-série com p>1 converge — isso confirma o resultado obtido pelo Teste da Integral.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} converge (convergência absoluta).

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