(1 ponto) Utilizando as regras de derivação e a tabela acima, calcule as derivadas das seguintes funções:
y=raiz[3](x^2+1)^4+3 x;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e as derivadas de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação das regras de derivação. A raiz cúbica pode ser expressa como uma potência:
y = ( (x^2 + 1)^4 + 3x )^13

Passo 3

Agora, para derivar em relação a , vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .
No nosso caso, e .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(u) = 13 u^-23 :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada de u = (x^2 + 1)^4 + 3x em relação a dudx = 4 (x^2 + 1)^3 cdot 2x + 3 :
dudx = 8x (x^2 + 1)^3 + 3
Derivando termo a termo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia, a derivada de dydx = f'(u) cdot dudx = 13 ( (x^2 + 1)^4 + 3x )^-23 cdot (8x (x^2 + 1)^3 + 3 ) é:

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 8x (x^2 + 1)^3 + 33 ( (x^2 + 1)^4 + 3x )^23

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