Seja a função varphi(theta, rho)=(x, y) dada por lx=rho cos theta y=rho sin theta
© Dê a matriz jacobiana da varphi.

Passo 1

O enunciado pede a matriz jacobiana da função de coordenadas polares varphi(theta,rho)=(x,y) com x=rhocostheta e y=rhosintheta. O conteúdo aqui é a definição de jacobiana: uma matriz cujos elementos são as derivadas parciais de x e y em relação a theta e rho.

Passo 2

Começamos calculando as derivadas parciais de x(theta,rho)=rhocostheta. Para isso usamos as regras básicas de derivação: a derivada de costheta em relação a theta e a de rho em relação a rho. Assim obtemos
partial xpartial theta=-rhosintheta, partial xpartial rho=costheta

Passo 3

Em seguida, derivamos y(theta,rho)=rhosintheta. Aplicando a regra do produto e a derivada de sintheta, temos
partial ypartial theta=rhocostheta, partial ypartial rho=sintheta

Passo 4

Por fim, montamos a matriz jacobiana juntando as derivadas parciais em forma de matriz 2×2, colocando nas linhas as derivadas de x e na segunda as de y, e nas colunas as derivadas em relação a theta e rho.

Resposta

Jvarphi(theta,rho)=-rhosintheta & costheta[6pt]rhocostheta & sintheta

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