(2 pontos) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) a reta tangente à curva de equação y=x^2+1x é horizontal, isto é, tem coeficiente angular igual a zero.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para encontrar os valores de onde a reta tangente à curva é horizontal. Isso significa que a inclinação dessa reta, ou seja, o coeficiente angular, é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada da função para encontrar onde a inclinação é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função em relação a , representada por ou , nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Então, pra encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos achar onde .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função y' = 2x - 1x^2 . A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Agora, queremos encontrar os valores de 2x - 1x^2 = 0 onde a derivada é igual a zero. Ou seja, resolveremos a equação:

Passo 5

Vamos isolar os termos:
2x = 1x^2
Multiplicando ambos os lados por 2x cdot x^2 = 1 para eliminar a fração:
2x^3 = 1

Passo 6

Agora, resolvemos para x^3 = 12 :
x = raiz[3]12

Passo 7

Simplificando a raiz cúbica:
x = 1raiz[3]2

Resposta

O valor de que torna a reta tangente horizontal é .

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