Simplifique f(x+h)-f(x)h(h neq 0) para f(x) igual a:
x+1x^2+2

Passo 1

Queremos simplificar o quociente de diferença f(x+h)-f(x)h para f(x)=x+1x^2+2. O conteúdo envolve manipular soma e diferença de frações, expansão de polinômios e fatoração para cancelar h.

Passo 2

Primeiro, calculemos f(x+h). Substituindo x por x+h em f(x) temos:
f(x+h)=(x+h)+1(x+h)^2+2=x+h+1(x+h)^2+2

Passo 3

Agora montamos a diferença f(x+h)-f(x) reunindo as duas frações sobre um mesmo denominador:
f(x+h)-f(x)=x+h+1(x+h)^2+2-x+1x^2+2 =(x+h+1)(x^2+2)-(x+1)((x+h)^2+2)l((x+h)^2+2r)(x^2+2)

Passo 4

Em seguida, vamos expandir o numerador:
  1. (x+h+1)(x^2+2)=x^3+(h+1)x^2+2x+2h+2
  2. (x+1)((x+h)^2+2)=x^3+(2h+1)x^2+(h^2+2h)x+(h^2+2)
    Subtraindo esses termos, o numerador fica:
-h x^2 -x(h^2+2h)+(2h -h^2)

Passo 5

Agora fatoramos h no numerador e lembramos que estamos dividindo por h:
f(x+h)-f(x)=hl[-x^2 -x(h+2)+(2-h)r]hl((x+h)^2+2r)(x^2+2)
Cancelando h em cima e embaixo, obtemos a forma simplificada do quociente de diferença.

Passo 6

Chegamos à expressão final simplificada:
f(x+h)-f(x)h= -x^2 -x(h+2)+(2-h)(x^2+2)l((x+h)^2+2r)

Resposta

-x^2 -x(h+2)+(2-h)(x^2+2)l((x+h)^2+2r)

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