(1 ponto)
(0.5) Verifique se a função g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1 & \text { se } x \leq 0 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>0\end{array}\right. é contínua em x=0.
é contínua em x=0. Informação dada: a função é definida por duas expressões, uma para x\le 0 e outra para x>0. A pergunta é apenas sobre continuidade no ponto \,0.]
Passo 2
Lembrete do conceito (explicadinho): uma função g é contínua em um ponto a se e somente se os três valores abaixo existem e são iguais:
Isto significa que os limites laterais têm que existir e coincidir entre si, e esse valor comum tem que ser igual ao valor da função em a. Para verificar continuidade em 0 vamos calcular as duas limites laterais e o valor g(0).
Passo 3
Calcular o valor da função em 0. Como 0\le 0, usamos a primeira expressão:
g(0)=0^{2}+1=1.
Portanto g(0)=1.
Passo 4
Calcular o limite lateral pela esquerda. Para x<0 a função vale x^{2}+1. Polinômios são contínuos, então podemos simplesmente substituir x=0 no polinômio:
Os limites laterais não são iguais (1\neq -1), portanto o limite \lim_{x\to 0} g(x) não existe. Como não existe limite único igual a g(0), a função não é contínua em 0. Esse tipo de descontinuidade é chamada de descontinuidade de salto (jump).