(1 ponto)
(0.5) Verifique se a função g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+1 & \text { se } x \leq 0 \\\\ 2 x-1 & \text { se } x>0\end{array}\right. é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
g(x)=\begin{cases} x^{2}+1 & \text{se } x\le 0,\\[4pt] 2x-1 & \text{se } x>0 \end{cases}
é contínua em x=0. Informação dada: a função é definida por duas expressões, uma para x\le 0 e outra para x>0. A pergunta é apenas sobre continuidade no ponto \,0.]

Passo 2

Lembrete do conceito (explicadinho): uma função g é contínua em um ponto a se e somente se os três valores abaixo existem e são iguais:
\lim_{x\to a^-} g(x),\qquad \lim_{x\to a^+} g(x),\qquad g(a).
Isto significa que os limites laterais têm que existir e coincidir entre si, e esse valor comum tem que ser igual ao valor da função em a. Para verificar continuidade em 0 vamos calcular as duas limites laterais e o valor g(0).

Passo 3

Calcular o valor da função em 0. Como 0\le 0, usamos a primeira expressão:
g(0)=0^{2}+1=1.
Portanto g(0)=1.

Passo 4

Calcular o limite lateral pela esquerda. Para x<0 a função vale x^{2}+1. Polinômios são contínuos, então podemos simplesmente substituir x=0 no polinômio:
\lim_{x\to 0^-} g(x)=\lim_{x\to 0^-} (x^{2}+1)=0^{2}+1=1.
Explicação rápida: como x^{2}+1 é contínua em 0, o limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda é o mesmo que o valor em 0.

Passo 5

Calcular o limite lateral pela direita. Para x>0 a função vale 2x-1. Funções lineares são contínuas, então substituímos x=0:
\lim_{x\to 0^+} g(x)=\lim_{x\to 0^+} (2x-1)=2\cdot 0 -1 = -1.
Novamente, justificativa: continuidade da função linear permite avaliação direta.

Passo 6

Comparar os limites laterais e o valor da função:
\lim_{x\to 0^-} g(x)=1,\qquad \lim_{x\to 0^+} g(x)=-1,\qquad g(0)=1.
Os limites laterais não são iguais ( 1\neq -1), portanto o limite \lim_{x\to 0} g(x) não existe. Como não existe limite único igual a g(0), a função não é contínua em 0. Esse tipo de descontinuidade é chamada de descontinuidade de salto (jump).

Resposta

g não é contínua em x=0.

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