(1,0 ponto) a) Verifique que a função d: R times R [0, infty[ dada pela expressão abaixo é um métrica em R.
d(x, y)=c 0, se x=y 1+|x-y|, se x neq y
(1,5 ponto) b) Consideremos em R duas métricas. A métrica d definida acima e a métrica usual dU: R times R [0, infty[ definida como dU(x, y)=|y-x|. Seja f: R R a função dada por
f(x)=c 0, se x=0 1+|x|, se x neq 0
Prove que f:(R, dU) (R, dU) não é contínua, ou seja, f não é contínua na métrica usual de R.
Prove que f:(R, d) (R, dU) é contínua, ou seja, f não é contínua quando o domínio tem a métrica definida acima e o contradomínio tem a métrica usual.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
e pede em (a) verificar que
devendo mostrar que
  1. é contínua.

Passo 2

(Positividade e separação)
Para todo x,yinR temos claramente d(x,y)>=0. Além disso, por definição
d(x,y)=0iff x=y
Logo satisfaz as propriedades de positividade e que d(x,y)=0 somente quando x=y.

Passo 3

(Simetria)
Se x=y então d(x,y)=0=d(y,x). Se xneq y então
d(x,y)=1+|x-y|=1+|y-x|=d(y,x)
Logo d(x,y)=d(y,x) em todos os casos.

Passo 4

(Desigualdade triangular)
Devemos mostrar
d(x,y)<= d(x,z)+d(z,y) forall,x,y,zinR
Se x=y então d(x,y)=0 e o lado direito é >=0, logo vale.
Se xneq y, então d(x,y)=1+|x-y|.
  • Se x=z então d(x,z)=0 e d(x,z)+d(z,y)=0+(1+|z-y|)=1+|x-y|=d(x,y)
  • Se z=y ocorre análogo.
  • Se xneq z e zneq y, então d(x,z)+d(z,y) =(1+|x-z|)+(1+|z-y|) =2+|x-z|+|z-y| >=1+|x-y| =d(x,y),
pois |x-z|+|z-y|>=|x-y|. Portanto a desigualdade triangular vale em todos os casos, e d é métrica.

Passo 5

(f não contínua em (R,dU))
Para verificar a continuidade em x=0 na métrica usual, calculamos
limxto0f(x) =limxto0,,xneq0(1+|x|)=1neq f(0)=0
Como o limite não coincide com f(0), f não é contínua em 0, logo não é contínua em (R,dU).

Passo 6

(f contínua de (R,d) em (R,dU))
Seja xinR e varepsilon>0. Escolhemos de<a=1.
Se d(x,y)<de<a=1 então, pela definição de d, só é possível y=x. Assim
|f(y)-f(x)|=|f(x)-f(x)|=0<varepsilon
Logo, para todo varepsilon>0 existe de<a=1 tal que d(x,y)<de<a implica ,|f(y)-f(x)|<varepsilon. Portanto f é contínua de (R,d) em (R,dU).

Resposta

(a) A função d satisfaz positividade, simetria e desigualdade triangular, logo é métrica em R.
(b) Com a métrica usual dU, f não é contínua em 0. Já usando d no domínio e dU no contradomínio, f torna-se contínua.

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