Represente as funções abaixo como série de Taylor ou de Maclaurin em x0 dado e determine 0 intervalo de convergência da série de potências obtida:
f(x)=1(1+x)^2 como série de Taylor com x0=1

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=1(1+x)^2 em torno de x0=1 e o intervalo de convergência. O conteúdo necessário é a expansão binomial para potências negativas, ou seja, a série de (1+u)^-2.

Passo 2

Definimos a variável de deslocamento
t = x - 1,
de modo que expandiremos em potências de t (isto é, de x-1).

Passo 3

Reescrevendo f em função de t:
f(x)=1(1+x)^2=1l(1+(1+t)r)^2=1(2+t)^2
Fatoramos 2^2:
1(2+t)^2 =14,1l(1 + t2r)^2

Passo 4

Usamos a série binomial para expoente -2:
1(1+u)^2 =sumn=0^infty(-1)^n(n+1),u^n, |u|<1

Passo 5

Substituindo u=tfract2 na fórmula acima e lembrando do fator tfrac14, obtemos
f(x) =14sumn=0^infty(-1)^n(n+1)l(t2r)^n =sumn=0^infty(-1)^nn+12^n+2,t^n
Voltando a t=x-1:
boxed f(x)=sumn=0^infty(-1)^nn+12^,n+2,(x-1)^n

Passo 6

A condição de convergência da série binomial sum u^n é |u|<1. Aqui u=tfract2=tfracx-12, logo
gl|x-12gr|<1 Longrightarrow |x-1|<2
Isto define o intervalo de convergência.

Resposta

f(x)=1(1+x)^2 =sumn=0^infty(-1)^nn+12^,n+2,(x-1)^n, |x-1|<2

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