(1 ponto) Se X sim b(n, p) tal que E(X)=1 e Var(X)=3 / 4, determine:
(a) Os valores de n e de p.
(b) P(X<3).
(c) Var(Z) em que Z=(X+1) / raiz2.
(d) P(Y >= 1 / 4) em que Y=X / n.

Passo 1

O enunciado diz que Xsim b(n,p) é binomial com
E(X)=1 e Var(X)=tfrac34.
Precisamos determinar
(a) os parâmetros n e p,
(b) P(X<3),
(c) Var(Z) para Z=(X+1)/raiz2,
(d) P(Y>=1/4) para Y=X/n.

Passo 2

Usamos as fórmulas da binomial:
E(X)=np, Var(X)=np(1-p)
Como np=1 e np(1-p)=tfrac34, substituímos np=1 em Var(X):
1cdot(1-p)=tfrac34 Longrightarrow 1-p=tfrac34 Longrightarrow p=tfrac14
Então n p=1 ncdottfrac14=1, logo n=4.

Passo 3

Para P(X<3) temos
P(X<3)=P(X<=2)=sumk=0^2binom4kl(tfrac14r)^kl(tfrac34r)^4-k
Calculando termo a termo:
k=0:;(tfrac34)^4=0,31640625, k=1:;4cdottfrac14cdot(tfrac34)^3=0,421875, k=2:;6cdottfrac116cdot(tfrac34)^2=0,2109375
Somando,
P(X<3)=0,31640625+0,421875+0,2109375=0,94921875

Passo 4

Como Z=(X+1)/raiz2, temos
Var(Z)=12,Var(X) =12cdottfrac34 =tfrac38

Passo 5

Para Y=X/n=X/4,
Pl(Y>=tfrac14r)=Pl(X>=1r) =1-P(X=0) =1-(tfrac34)^4 =1-0,31640625 =0,68359375

Resposta

(a) n=4, p=tfrac14.
(b) P(X<3)=0,94921875.
(c) Var(Z)=tfrac38.
(d) P(Y>=tfrac14)=0,68359375.

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