1. No ponto z=0 a função 1 /\left(z^{2}+1\right) não é singular. Obtenha a série de Taylor dessa função em torno de z=0 até o termo de ordem z^{4}. Resp: 1-z^{2}+z^{4}+\cdots

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle \frac{1}{z^{2}+1} e informa que no ponto z=0 ela não é singular. O que se pede é: obter a série de Taylor dessa função em torno de z=0 até o termo de ordem z^{4}. Em resumo:
  • Função dada: \displaystyle f(z)=\frac{1}{z^{2}+1}.
  • Ponto em torno do qual desenvolver: z=0.
  • Objetivo: série de Taylor truncada até o termo em z^{4} (inclusive).

Passo 2

Idéia prática (ferramenta que usaremos): reconhecer a forma \displaystyle \frac{1}{1+u} e usar a série geométrica. Lembrete sobre a série geométrica:
\frac{1}{1-r}=\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots
válida para |r|<1. A partir daí, se trocarmos r por -u obtemos
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}u^{n}=1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots,
válida para |u|<1. Esta é uma forma muito direta de obter a série de Taylor quando a função tem a forma \frac{1}{1+u}.

Passo 3

Aplicando a substituição conveniente: aqui temos u=z^{2}. Substituindo na série acima:
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} (z^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} z^{2n}.
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
\frac{1}{1+z^{2}}=1 - z^{2} + z^{4} - z^{6} + \cdots.

Passo 4

Como só precisamos até o termo de ordem z^{4}, truncamos a série acima e mantemos os termos até z^{4}:
\frac{1}{1+z^{2}}=1 - z^{2} + z^{4} + \mathcal{O}(z^{6}).
Aqui \mathcal{O}(z^{6}) indica termos de ordem z^{6} e superiores que foram desprezados porque o enunciado pediu até z^{4}.

Passo 5

Comentário sobre validade: a expansão usada é a série geométrica em u=z^{2}, portanto converge quando |u|<1, isto é, quando |z|<1. Como a função é regular (analítica) em z=0, a série de potências encontrada é de fato a série de Taylor centrada em 0 dentro do raio de convergência |z|<1.

Passo 6

Dica prática para prova (como aplicar essa técnica a outros problemas): sempre que aparecer \dfrac{1}{1+\text{(coisa pequena)}} ou \dfrac{1}{1-\text{(coisa pequena)}} em torno de 0, tente reconhecer a série geométrica com r=\pmessa “coisa” e desenvolvê-la. Exemplo rápido: \dfrac{1}{1- z} = 1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots para |z|<1.

Resposta

\displaystyle 1 - z^{2} + z^{4} + \cdots

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