- No ponto
a função
não é singular. Obtenha a série de Taylor dessa função em torno de
até o termo de ordem
. Resp:
Passo 1
O enunciado dá a função
e informa que no ponto
ela não é singular. O que se pede é: obter a série de Taylor dessa função em torno de
até o termo de ordem
. Em resumo:
- Função dada:
. - Ponto em torno do qual desenvolver:
. - Objetivo: série de Taylor truncada até o termo em
(inclusive).
Passo 2
Idéia prática (ferramenta que usaremos): reconhecer a forma
e usar a série geométrica. Lembrete sobre a série geométrica:
válida para
. A partir daí, se trocarmos
por
obtemos
válida para
. Esta é uma forma muito direta de obter a série de Taylor quando a função tem a forma
.
Passo 3
Aplicando a substituição conveniente: aqui temos
. Substituindo na série acima:
Escrevendo os primeiros termos explícitos:
Passo 4
Como só precisamos até o termo de ordem
, truncamos a série acima e mantemos os termos até
:
Aqui
indica termos de ordem
e superiores que foram desprezados porque o enunciado pediu até
.
Passo 5
Comentário sobre validade: a expansão usada é a série geométrica em
, portanto converge quando
, isto é, quando
. Como a função é regular (analítica) em
, a série de potências encontrada é de fato a série de Taylor centrada em
dentro do raio de convergência
.
Passo 6
Dica prática para prova (como aplicar essa técnica a outros problemas): sempre que aparecer
ou
em torno de
, tente reconhecer a série geométrica com
essa “coisa” e desenvolvê-la. Exemplo rápido:
para
.