Um ponto z0 in C é chamado de ponto fixo de f se f(z0)=z0. Encontre os pontos fixos de f(z)=(z-1) /(z+1).

Passo 1

A questão pede os pontos fixos de uma função de variável complexa, ou seja, os valores de z tais que f(z)=z. Aqui o conteúdo é definição de ponto fixo e manipulação algébrica (equação racional). Vamos precisar usar: definição de ponto fixo e resolver a equação z-1z+1=z.

Passo 2

Começamos impondo a condição de ponto fixo:
z-1z+1=z
e lembramos que zneq -1 (pois o denominador não pode ser zero).
Multiplicamos em cruz para eliminar o denominador:
z-1 = z,(z+1)
Expandindo o lado direito:
z-1 = z^2 + z
Agora reunimos tudo num lado para formar uma equação do segundo grau:
0 = z^2 + z - z + 1
0 = z^2 + 1
Isso nos dá a equação simples
z^2 = -1
Daí tiramos as raízes quadradas no conjunto dos complexos:
z = pm i

Passo 3

Verificamos que esses valores não violam zneq -1, então são válidos.

Resposta

Os pontos fixos de f(z)=z-1z+1 são z=i e z=-i.

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