Um ponto
é chamado de ponto fixo de
se
. Encontre os pontos fixos de
.
Passo 1
A questão pede os pontos fixos de uma função de variável complexa, ou seja, os valores de
tais que
. Aqui o conteúdo é definição de ponto fixo e manipulação algébrica (equação racional). Vamos precisar usar: definição de ponto fixo e resolver a equação
.
Passo 2
Começamos impondo a condição de ponto fixo:
e lembramos que
(pois o denominador não pode ser zero).
Multiplicamos em cruz para eliminar o denominador:
Multiplicamos em cruz para eliminar o denominador:
Expandindo o lado direito:
Agora reunimos tudo num lado para formar uma equação do segundo grau:
Isso nos dá a equação simples
Daí tiramos as raízes quadradas no conjunto dos complexos:
Passo 3
Verificamos que esses valores não violam
, então são válidos.
Resposta
Os pontos fixos de
são
e
.