Calcule o valor dos três primeiros limites abaixo e mostre que o último não existe.
lim z 1+j z^2-2 z+2z^2-2 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da função complexa
f(z)=z^2-2z+2z^2-2i
quando z tende a 1+j (aqui usamos jequiv i). O conteúdo envolvido é limite de função complexa e fatoração de polinômios para remover indeterminações do tipo 0/0.

Passo 2

Primeiro, substituímos z=1+i direto em numerador e denominador para verificar o tipo de indeterminação:
numerador=(1+i)^2-2(1+i)+2=0,
denominador=(1+i)^2-2i=0
Como obtemos 0/0, partimos para fatorar.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador em raízes:
z^2-2z+2=(z-(1+i))(z-(1-i)),
z^2-2i=(z-(1+i))(z+(1+i))
Assim,
z^2-2z+2z^2-2i =(z-(1+i))(z-(1-i))(z-(1+i))(z+(1+i)) =z-(1-i)z+(1+i),
válido para zneq1+i.

Passo 4

Agora basta tomar o limite da expressão simplificada quando zto1+i:
limzto1+iz-(1-i)z+(1+i) =(1+i)-(1-i)(1+i)+(1+i) =2i2+2i =i1+i
Para simplificar ainda mais, multiplicamos numerador e denominador por 1-i:
i1+icdot1-i1-i=i(1-i)(1+i)(1-i)=i - i^22=1+i2

Resposta

dfrac1+i2

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