3- (2,0 pontos) A 200 m de uma explosão o nível sonoro medido foi de 100 dB . Considerando que a explosão emite som igualmente em todas as direções calcule: a) Qual é a intensidade do som nesta distância? b) qual é a distância mínima que se pode estar desta explosão para ficar além do limiar de dor? c) Se processo demorou 0,1 \mathrm{~s}, calcule qual foi a energia total liberada na explosão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações fornecidas:
  • A distância da explosão onde se mediu o nível sonoro é \,200\\ \mathrm{m}\,.
  • O nível sonoro medido nessa distância é \,100\\ \mathrm{dB}\,.
  • A explosão emite som igualmente em todas as direções (fonte isotrópica).
  • A duração do processo (explosão) foi \,0,1\\ \mathrm{s}\,.
Perguntas pedidas:
a) Qual é a intensidade do som nessa distância?
b) Qual é a distância mínima da explosão para ficar além do limiar de dor?
c) Se o processo demorou \,0,1\\ \mathrm{s}, qual foi a energia total liberada na explosão?
Observação importante: vou assumir o valor usual do limiar de dor como \,120\\ \mathrm{dB}\, (valor típico em acústica). Se o enunciado esperava outro número, o procedimento muda só substituindo esse valor.

Passo 2

Conceito e fórmula para passar de nível sonoro em decibéis para intensidade: o nível sonoro L (em decibéis) está relacionado à intensidade sonora I (em \mathrm{W/m^2}) pela fórmula
L = 10\log_{10}\!\biggl(\frac{I}{I_0}\biggr),
onde I_0 é a intensidade de referência, definida convencionalmente como \,I_0 = 10^{-12}\\ \mathrm{W/m^2}\,. Explicando as variáveis: L é o nível em dB, I é a intensidade real que queremos, e I_0 é a intensidade de referência para 0\\ \mathrm{dB}.
Para obter I isolamos na fórmula:
I = I_0 \,10^{L/10}.
Agora aplicamos com L=100\\ \mathrm{dB}:
I = 10^{-12}\cdot 10^{100/10} = 10^{-12}\cdot 10^{10} = 10^{-2}\\ \mathrm{W/m^2}.
Portanto, a intensidade do som a \,200\\ \mathrm{m}\, é \,0,01\\ \mathrm{W/m^2}\,.

Passo 3

Relacionando intensidade e potência da fonte isotrópica: quando a fonte emite igualmente em todas as direções, a potência acústica total P (em \mathrm{W}) espalha-se por uma esfera de raio r; a intensidade média a uma distância r é
I(r) = \frac{P}{4\pi r^2}.
Aqui P é a potência total emitida pela explosão e 4\pi r^2 é a área da superfície da esfera de raio r.
Usando r=200\\ \mathrm{m} e I(200\\ \mathrm{m})=10^{-2}\\ \mathrm{W/m^2}, encontramos P:
P = I\cdot 4\pi r^2 = 10^{-2}\cdot 4\pi \cdot (200)^2.
Calcule passo a passo: (200)^2 = 40000. Então
P = 10^{-2}\cdot 4\pi \cdot 40000 = 10^{-2}\cdot 160000\pi = 1600\pi\\ \mathrm{W}.
Valor numérico aproximado:
P \approx 1600\cdot 3,14159 \approx 5026{,}55\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Para a parte (b) precisamos da intensidade correspondente ao limiar de dor ( L_{\text{dor}}=120\\ \mathrm{dB}, conforme assumi). Usamos a mesma fórmula do Passo 2:
I_{\text{dor}} = I_0 \,10^{L_{\text{dor}}/10} = 10^{-12}\cdot 10^{120/10} = 10^{-12}\cdot 10^{12} = 1\\ \mathrm{W/m^2}.
Agora usamos a relação isotrópica I = P/(4\pi r^2) e resolvemos para r quando I=I_{\text{dor}}:
r = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_{\text{dor}}}}.
Substituindo P=1600\pi\\ \mathrm{W} e I_{\text{dor}}=1\\ \mathrm{W/m^2}:
r = \sqrt{\frac{1600\pi}{4\pi\cdot 1}} = \sqrt{\frac{1600\pi}{4\pi}} = \sqrt{400} = 20\\ \mathrm{m}.
Observação sobre o cálculo: nota como os \pi se cancelam, o que torna o resultado simples.
Portanto, a distância mínima para estar além do limiar de dor é \,20\\ \mathrm{m}\, (assumindo limiar de dor \,120\\ \mathrm{dB}\,).

Passo 5

Energia total liberada: energia E é potência média P multiplicada pelo tempo t:
E = P\cdot t.
Usando P = 1600\pi\\ \mathrm{W} (do Passo 3) e t = 0,1\\ \mathrm{s}:
E = 1600\pi \cdot 0,1 = 160\pi\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado:
E \approx 160\cdot 3,14159 \approx 502{,}65\\ \mathrm{J}.
Interpretando: em 0,1 s a explosão liberou cerca de 5,03\times 10^2\\ \mathrm{J} de energia acústica (energia transportada pelo som). Isso é a energia acústica estimada — na prática a explosão também libera outras formas de energia (calor, movimento), mas aqui calculamos apenas a energia sonora associada à potência acústica estimada.

Resposta

a) I=0,01\\ \mathrm{W/m^2}
b) r_{\min}=20\\ \mathrm{m}
c) E=160\pi\\ \mathrm{J}\approx 5,03\times 10^{2}\\ \mathrm{J}

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