2- ( 3,0 pontos) Uma corda uniforme de 12 m de comprimento e massa
está esticada sob uma tensão de 20 N . Fazemos uma de suas pontas oscilar transversalmente com amplitude de 3 mm e frequência de 15 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da ponta é de
para cima. a) Calcule a velocidade de propagação e o comprimento de onda da onda progressiva gerada. b) Escreva o deslocamento transversal em função do tempo de um ponto da corda situado a uma distância
da extremidade. (antes que a onda seja refletida) c) Calcule qual é a potência transmitida através da corda.
Passo 1
Identificando o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- Dados:
deslocamento inicial da extremidade (em
):
- Perguntas:
a) Calcular a velocidade de propagaçãoe o comprimento de onda da onda progressiva gerada.
b) Escrever o deslocamento transversalde um ponto da corda à distância da extremidade (antes da reflexão).
c) Calcular a potência média transmitida através da corda.
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa
(massa por unidade de comprimento), pois é necessária para
e para a potência.
- Fórmula e significado:
é a massa por metro da corda; a fórmula usada é
onde
é a massa total da corda e
é o comprimento da corda.
- Cálculo:
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação
.
- Conceito/fórmula: para uma onda transversal numa corda tensa, a velocidade
é dada por
onde
é a tensão e
a densidade linear. Isso vem do equilíbrio entre força de tensão e inércia da corda.
- Substituindo os valores:
- Arredondando com sentido prático:
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
.
- Conceito/fórmula: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
onde
é a frequência em Hz.
- Cálculo:
- Arredondando:
Passo 5
Determinar
(frequência angular) e
(número de onda), porque são usados na forma da solução.
-
Definições:Aqui
tem unidades de rad/s e diz a velocidade angular da oscilação temporal; tem unidades de rad/m e diz a variação espacial da fase. -
Cálculos:
Passo 6
Determinar a fase inicial
da oscilação na extremidade
, usando
.
- Modelo da extremidade (em
): a extremidade oscila harmonicamente com amplitude , portanto podemos escrever
Em
isso dá
.
- Então
- Tomando o arco-seno principal,
(Observação: poderíamos adicionar múltiplos de
ou escolher fase complementar, mas a escolha
é a mais direta e compatível com a informação dada.)
Passo 7
Escrever a forma da onda progressiva que se propaga ao longo da corda antes da reflexão.
- Conceito/fórmula: para uma onda harmónica progressiva que viaja no sentido positivo de
com amplitude , frequência angular e número de onda , a solução é
O sinal de
indica deslocamento no sentido positivo de
. Aqui
é a fase inicial determinada no passo anterior.
- Substituindo os valores numéricos (colocando
, , e ):
- Observação didática: nessa expressão
está em metros e em segundos; antes da reflexão essa fórmula vale para todo entre e o ponto até onde a onda já chegou.
Passo 8
Calcular a potência média transmitida pela corda (potência transportada pela onda).
- Conceito: a potência instantânea transmitida através de uma seção da corda é dada por (aproximação de pequenos deslocamentos)
onde
é a tensão. A potência média em um período é a média temporal de
.
- Derivadas para a nossa onda
:
-
Produto:
-
Potência média (média de
vale ): -
Substituição usando
: Como(rearranjando ), temos . Logo Esta é uma forma útil porque usa, , e .
Passo 9
Calcular numericamente a potência média com os valores já obtidos.
-
Valores usados:
-
Cálculo passo a passo:
- Arredondando com sentido prático:
Resposta
a)
e
b)
c) (aprox.
).
b)
c)