2- ( 3,0 pontos) Uma corda uniforme de 12 m de comprimento e massa 0,20 \mathrm{Kg} está esticada sob uma tensão de 20 N . Fazemos uma de suas pontas oscilar transversalmente com amplitude de 3 mm e frequência de 15 oscilações por segundo. O deslocamento inicial da ponta é de 0,75 \mathrm{~mm} para cima. a) Calcule a velocidade de propagação e o comprimento de onda da onda progressiva gerada. b) Escreva o deslocamento transversal em função do tempo de um ponto da corda situado a uma distância x da extremidade. (antes que a onda seja refletida) c) Calcule qual é a potência transmitida através da corda.

Passo 1

Identificando o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados: L=12\\ \text{m},\qquad m=0{,}20\\ \text{kg},\qquad T=20\\ \text{N},
A=3\\ \text{mm}=0{,}003\\ \text{m},\qquad f=15\\ \text{Hz},
deslocamento inicial da extremidade (em t=0):
y(0,0)=0{,}75\\ \text{mm}=0{,}00075\\ \text{m}.
  • Perguntas:
    a) Calcular a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda progressiva gerada.
    b) Escrever o deslocamento transversal y(x,t) de um ponto da corda à distância x da extremidade (antes da reflexão).
    c) Calcular a potência média transmitida através da corda.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento), pois é necessária para v e para a potência.
  • Fórmula e significado: \mu é a massa por metro da corda; a fórmula usada é
\mu=\frac{m}{L},
onde \;m é a massa total da corda e \;L é o comprimento da corda.
  • Cálculo:
\mu=\frac{0{,}20}{12}=0{,}016666\ldots\\ \text{kg/m}=\frac{1}{60}\\ \text{kg/m}.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação v.
  • Conceito/fórmula: para uma onda transversal numa corda tensa, a velocidade v é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \;T é a tensão e \;\mu a densidade linear. Isso vem do equilíbrio entre força de tensão e inércia da corda.
  • Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{20}{0{,}016666\ldots}}=\sqrt{1200}=34{,}641016\ldots\\ \text{m/s}.
  • Arredondando com sentido prático:
v\approx34{,}64\\ \text{m/s}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda.
  • Conceito/fórmula: relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
\lambda=\frac{v}{f},
onde \;f é a frequência em Hz.
  • Cálculo:
\lambda=\frac{34{,}641016\ldots}{15}=2{,}309401\ldots\\ \text{m}.
  • Arredondando:
\lambda\approx2{,}3094\\ \text{m}.

Passo 5

Determinar \omega (frequência angular) e k (número de onda), porque são usados na forma da solução.
  • Definições:
    \omega=2\pi f,\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda}.
    Aqui \omega tem unidades de rad/s e diz a velocidade angular da oscilação temporal; k tem unidades de rad/m e diz a variação espacial da fase.
  • Cálculos:
    \omega=2\pi\cdot15=30\pi\approx94{,}2477796\\ \text{rad/s},
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{2{,}309401\ldots}\approx2{,}720699\\ \text{rad/m}.

Passo 6

Determinar a fase inicial \varphi da oscilação na extremidade x=0, usando y(0,0)=0{,}00075\\ \text{m}.
  • Modelo da extremidade (em x=0): a extremidade oscila harmonicamente com amplitude A, portanto podemos escrever
y(0,t)=A\sin(\omega t+\varphi).
Em t=0 isso dá \;y(0,0)=A\sin\varphi.
  • Então
\sin\varphi=\frac{y(0,0)}{A}=\frac{0{,}00075}{0{,}003}=0{,}25.
  • Tomando o arco-seno principal,
\varphi=\arcsin(0{,}25)\approx0{,}252680255\\ \text{rad}\\ (\approx14{,}48^\circ).
(Observação: poderíamos adicionar múltiplos de 2\pi ou escolher fase complementar, mas a escolha \varphi=\arcsin(0{,}25) é a mais direta e compatível com a informação dada.)

Passo 7

Escrever a forma da onda progressiva que se propaga ao longo da corda antes da reflexão.
  • Conceito/fórmula: para uma onda harmónica progressiva que viaja no sentido positivo de x com amplitude A, frequência angular \omega e número de onda k, a solução é
y(x,t)=A\sin(\omega t - kx + \varphi).
O sinal de -kx indica deslocamento no sentido positivo de x. Aqui \varphi é a fase inicial determinada no passo anterior.
  • Substituindo os valores numéricos (colocando A, \omega, k e \varphi):
y(x,t)=0{,}003\sin\bigl(94{,}2477796\,t-2{,}720699\,x+0{,}2526803\bigr)\\ \text{(SI: metros, segundos)}.
  • Observação didática: nessa expressão x está em metros e t em segundos; antes da reflexão essa fórmula vale para todo x entre 0 e o ponto até onde a onda já chegou.

Passo 8

Calcular a potência média transmitida pela corda (potência transportada pela onda).
  • Conceito: a potência instantânea transmitida através de uma seção da corda é dada por (aproximação de pequenos deslocamentos)
P_{\text{inst}}=-T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t},
onde T é a tensão. A potência média em um período é a média temporal de P_{\text{inst}}.
  • Derivadas para a nossa onda y(x,t)=A\sin(\omega t-kx+\varphi): \frac{\partial y}{\partial t}=A\omega\cos(\omega t-kx+\varphi),
\frac{\partial y}{\partial x}=-Ak\cos(\omega t-kx+\varphi).
  • Produto:
    P_{\text{inst}}=-T\bigl(-Ak\cos(\cdot)\bigr)\bigl(A\omega\cos(\cdot)\bigr)=T k\omega A^2\cos^2(\omega t-kx+\varphi).
  • Potência média (média de \cos^2 vale 1/2):
    P_{\text{média}}=\left\langle P_{\text{inst}}\right\rangle=T k\omega A^2\left\langle\cos^2\right\rangle=\frac{1}{2}T k\omega A^2.é
  • Substituição usando k=\omega/v:
    P_{\text{média}}=\frac{1}{2}T\frac{\omega}{v}\omega A^2=\frac{1}{2}\frac{T}{v}\omega^2 A^2.é
    Como T=\mu v^2 (rearranjando v=\sqrt{T/\mu}), temos T/v=\mu v. Logo
    P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2.é
    Esta é uma forma útil porque usa \mu, v, \omega e A.

Passo 9

Calcular numericamente a potência média com os valores já obtidos.
  • Valores usados:
    \mu=0{,}016666\ldots,\quad v=34{,}641016\ldots,\quad \omega=30\pi\approx94{,}2477796,\quad A=0{,}003.
  • Cálculo passo a passo:
    \omega^2=(30\pi)^2=900\pi^2\approx8882{,}6439609,
A^2=(0{,}003)^2=9\times10^{-6},
\omega^2A^2\approx8882{,}6439609\times9\times10^{-6}\approx0{,}07994379565,
\mu v\approx0{,}016666\ldots\times34{,}641016\ldots\approx0{,}5773502692,
\mu v\cdot(\omega^2A^2)\approx0{,}5773502692\times0{,}07994379565\approx0{,}0461766930,
P_{\text{média}}=\frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2\approx\frac{1}{2}\times0{,}0461766930\approx0{,}0230883465\\ \text{W}.é
  • Arredondando com sentido prático: P_{\text{média}}\approx0{,}0231\\ \text{W}=23{,}1\\ \text{mW}.é

Resposta

a) v\approx34{,}64\\ \text{m/s} e \lambda\approx2{,}3094\\ \text{m}.
b) y(x,t)=0{,}003\sin\bigl(94{,}2477796\,t-2{,}720699\,x+0{,}2526803\bigr)\\ \text{m}.
c) P_{\text{média}}\approx0{,}0231\\ \text{W}é (aprox. 23{,}1\\ \text{mW}).

Exercícios relacionados