Q3. ( 2,0 pontos) Abaixo é dada uma diagonalização da matriz na forma . Explicite os autovalores de e as bases para os autoespaços associados.
Passo 1
O enunciado fornece uma diagonalização na forma
P^-1 A P = D
ou seja, D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A e as colunas de P são vetores próprios (autovetores) correspondentes. Nosso objetivo é ler esses autovalores em D e extrair as bases dos autoespaços a partir das colunas de P.
Passo 2
A matriz diagonal dada é
D = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1
Logo, os autovalores de A são as entradas da diagonal:
lambda1 = 2, lambda2 = 0, lambda3 = -1
Passo 3
A matriz P é
P = 3 & 1 & 0 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1
Pelo teorema de diagonalização, cada coluna de P é um autovetor de A.
Passo 4
Associando cada coluna de P ao autovalor na mesma posição em D, obtemos:
Para lambda1 = 2, o autovetor é a primeira coluna: (3,1,2).
Para lambda2 = 0, o autovetor é a segunda coluna: (1,-1,0).
Para lambda3 = -1, o autovetor é a terceira coluna: (0,1,-1).