Q3. ( 2,0 pontos) Abaixo é dada uma diagonalização da matriz A na forma P^-1 A P=D. Explicite os autovalores de A e as bases para os autoespaços associados.
[rrr 1 / 6 & 1 / 6 & 1 / 6 1 / 2 & -1 / 2 & -1 / 2 1 / 3 & 1 / 3 & -2 / 3 ][lll 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ][rrr 3 & 1 & 0 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1 ]=[rrr 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1 ]

Passo 1

O enunciado fornece uma diagonalização na forma
P^-1 A P = D
ou seja, D é a matriz diagonal cujas entradas são os autovalores de A e as colunas de P são vetores próprios (autovetores) correspondentes. Nosso objetivo é ler esses autovalores em D e extrair as bases dos autoespaços a partir das colunas de P.

Passo 2

A matriz diagonal dada é
D = 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & -1
Logo, os autovalores de A são as entradas da diagonal:
lambda1 = 2, lambda2 = 0, lambda3 = -1

Passo 3

A matriz P é
P = 3 & 1 & 0 1 & -1 & 1 2 & 0 & -1
Pelo teorema de diagonalização, cada coluna de P é um autovetor de A.

Passo 4

Associando cada coluna de P ao autovalor na mesma posição em D, obtemos:
  • Para lambda1 = 2, o autovetor é a primeira coluna: (3,1,2).
  • Para lambda2 = 0, o autovetor é a segunda coluna: (1,-1,0).
  • Para lambda3 = -1, o autovetor é a terceira coluna: (0,1,-1).
Portanto, bases dos autoespaços são
E2 = span(3,1,2), E0 = span(1,-1,0), E-1 = span(0,1,-1)

Resposta

Os autovalores de A são 2, 0 e -1.
Uma base para E2 é (3,1,2), para E0 é (1,-1,0) e para E-1 é (0,1,-1).

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