Q4. ( pontos) Em geral, é difícil mostrar que duas matrizes são semelhantes. No entanto, se duas matrizes semelhantes são diagonalizáveis, a tarefa começa a ser mais fácil. Mostre que e dadas abaixo são semelhantes mostrando que elas são semelhantes a uma mesma matriz diagonal. Depois, encontre uma matriz invertível tal que .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A=3 & 10 & -1, B=1 & 22 & 1
são semelhantes, usando o fato de que ambas são diagonalizáveis pelo mesmo polinômio característico. Vamos calcular os autovalores e autovetores de A e de B, diagonalizá-las numa diagonal D comum e, a partir daí, construir uma matriz P tal que
P^-1AP = B
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de A e de B. Como tr(A)=3+(-1)=2 e det(A)=3cdot(-1)-0cdot1=-3, obtemos
chiA(lambda)=lambda^2 - (trA),lambda + det A =lambda^2 -2lambda -3
O mesmo vale para B, pois tr(B)=1+1=2 e det(B)=1cdot1-2cdot2=-3. As raízes são