Q4. ( 2 , 0 pontos) Em geral, é difícil mostrar que duas matrizes são semelhantes. No entanto, se duas matrizes semelhantes são diagonalizáveis, a tarefa começa a ser mais fácil. Mostre que A e B dadas abaixo são semelhantes mostrando que elas são semelhantes a uma mesma matriz diagonal. Depois, encontre uma matriz invertível P tal que P^-1 A P=B.
A=[rr 3 & 1 0 & -1 ], B=[ll 1 & 2 2 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes
A=3 & 10 & -1, B=1 & 22 & 1
são semelhantes, usando o fato de que ambas são diagonalizáveis pelo mesmo polinômio característico. Vamos calcular os autovalores e autovetores de A e de B, diagonalizá-las numa diagonal D comum e, a partir daí, construir uma matriz P tal que
P^-1AP = B

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A e de B. Como tr(A)=3+(-1)=2 e det(A)=3cdot(-1)-0cdot1=-3, obtemos
chiA(lambda)=lambda^2 - (trA),lambda + det A =lambda^2 -2lambda -3
O mesmo vale para B, pois tr(B)=1+1=2 e det(B)=1cdot1-2cdot2=-3. As raízes são
lambda^2 -2lambda -3 =0 Longrightarrow lambda=3,; lambda=-1
Logo ambas têm autovalores lambda1=3 e lambda2=-1.

Passo 3

Diagonalizamos A.
Para lambda1=3, resolvemos
(A-3I)x=0;Longrightarrow; 0&10&-4x=0 ;Longrightarrow; x2=0,
autovetor v1=(1,0)^T.
Para lambda2=-1,
(A+I)x=0;Longrightarrow; 4&10&0x=0 ;Longrightarrow; x2=-4x1,
autovetor v2=(1,-4)^T.
Tomamos
S=v1&v2 =1&10&-4 e D=S^-1AS=3&00&-1

Passo 4

Diagonalizamos B.
Para lambda1=3,
(B-3I)x=0;Longrightarrow; -2&22&-2x=0 ;Longrightarrow; x1=x2,
autovetor w1=(1,1)^T.
Para lambda2=-1,
(B+I)x=0;Longrightarrow; 2&22&2x=0 ;Longrightarrow; x1=-x2,
autovetor w2=(1,-1)^T.
Tomamos
T=w1&w2 =1&11&-1 e T^-1BT =3&00&-1=D

Passo 5

Como S^-1AS=D=T^-1BT, temos
B ;=; T,D,T^-1 ;=; Tl(S^-1ASr)T^-1 ;=;l(TS^-1r),A,l(ST^-1r)
Logo basta escolher
P = S,T^-1
para obter
P^-1AP ;=; B

Passo 6

Calculamos T^-1. Como det T=(1)(-1)-(1)(1)=-2,
T^-1=1-2-1&-1-1&1 =1/2&1/21/2&-1/2
Portanto
P = S,T^-1 =1&10&-4 1/2&1/21/2&-1/2 =1&0-2&2

Resposta

P=1&0-2&2,
que satisfaz P^-1AP=B.

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