Q2. (2,0 pontos) Seja A uma matriz 3 times 3 com autovetores
v1=[l 1 0 0 ], v2=[l 1 1 0 ], v3=[l 1 1 1 ]
associados, respectivamente, aos autovalores
lambda1=-13, lambda2=13, lambda3=1
Note que v1, v2, v3 é uma base de R^3. Considerando o vetor x=[l2 1 2], determine:
(a) A^20 x.
(b) A^k x. O que acontece quando k aumenta muito (isto é, k infty )?

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A de tamanho 3times3 diagonalizável com autovetores
v1=100, v2=110, v3=111
e autovalores lambda1=-tfrac13, lambda2=tfrac13, lambda3=1. Como esses vetores formam base de R^3, vamos decompor
x=212
nessa base e usar a propriedade
A^kx=alpha1lambda1^kv1 +alpha2lambda2^kv2 +alpha3lambda3^kv3

Passo 2

Escrevemos
x=alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3 ;Longrightarrow; 212 =alpha1100 +alpha2110 +alpha3111
Isso gera o sistema
alpha1+alpha2+alpha3=2, alpha2+alpha3=1, alpha3=2

Passo 3

Da terceira equação vem alpha3=2. Substituindo na segunda, alpha2+2=1 alpha2=-1. Na primeira, alpha1-1+2=2 leva a alpha1=1. Logo
alpha1=1, alpha2=-1, alpha3=2

Passo 4

Pela diagonalização,
A^kx =1cdotl(-tfrac13r)^kv1 -1cdotl(tfrac13r)^kv2 +2cdot1^kv3

Passo 5

Para k=20 temos l(-tfrac13r)^20=l(tfrac13r)^20. Assim
A^20x =l(tfrac13r)^20v1 -l(tfrac13r)^20v2 +2,v3 =l(tfrac13r)^20l(v1-v2r) +2v3
Como v1-v2=(0,-1,0)^T, concluímos
A^20x =22-l(tfrac13r)^202

Passo 6

Em geral
A^kx =l(-tfrac13r)^kv1 -l(tfrac13r)^kv2 +2,v3 = 2+dfrac(-1)^k-13^k[6pt] 2-dfrac13^k[4pt] 2
Quando ktoinfty, 3^-kto0 e l(-tfrac13r)^kto0, portanto
A^kx;longrightarrow;222 =2,v3 ]

Resposta

(a) A^20x=22-l(tfrac13r)^202
(b) A^kx=2+(-1)^k-13^k2-13^k2, e ao aumentar k para infty esse vetor converge para l(2,2,2r)^T.

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