( 2.5 pontos) Ache três números positivos cujo produto é 27 e cuja soma seja a menor possível. Mostre que o valor encontrado é um mínimo absoluto.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três números positivos x,y,z tais que xyz=27 e que a soma
S = x + y + z
seja a menor possível. Este é um problema de otimização com restrição; vamos usar a desigualdade da média aritmética–geométrica (AM–GM) para resolvê-lo de forma direta.

Passo 2

Pela desigualdade AM–GM para três números positivos temos
x + y + z3 >= (xyz)^tfrac13
Como xyz = 27, temos (xyz)^tfrac13 = 27^tfrac13 = 3. Logo
x + y + z3 >= 3 Longrightarrow x + y + z >= 9

Passo 3

A igualdade na AM–GM ocorre se, e somente se, x = y = z. Nesse caso,
x = y = z = (xyz)^tfrac13 = 3,
o que satisfaz a restrição xyz = 3cdot3cdot3 = 27.

Passo 4

Como para qualquer trio positivo com produto 27 vale x+y+z>=9, e encontramos x+y+z=9 quando x=y=z=3, concluímos que esse valor é o menor possível. A desigualdade AM–GM garante que não há soma menor, de modo que o resultado é um mínimo absoluto.

Resposta

Os três números são 3,3,3 e a soma mínima vale 9.

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