( 2.5 pontos) Ache três números positivos cujo produto é 27 e cuja soma seja a menor possível. Mostre que o valor encontrado é um mínimo absoluto.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar três números positivos
tais que
e que a soma
seja a menor possível. Este é um problema de otimização com restrição; vamos usar a desigualdade da média aritmética–geométrica (AM–GM) para resolvê-lo de forma direta.
Passo 2
Pela desigualdade AM–GM para três números positivos temos
Como
, temos
. Logo
Passo 3
A igualdade na AM–GM ocorre se, e somente se,
. Nesse caso,
o que satisfaz a restrição
.
Passo 4
Como para qualquer trio positivo com produto
vale
, e encontramos
quando
, concluímos que esse valor é o menor possível. A desigualdade AM–GM garante que não há soma menor, de modo que o resultado é um mínimo absoluto.
Resposta
Os três números são
e a soma mínima vale
.