(2 pontos) Ache o valor da derivada direcional no ponto (0,3) para a função 3 x^3 y+4 y^2-xy na direção e sentido de v=i+j.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=3x^3y+4y^2-xy no ponto (0,3) na direção de vec v=vec i+vec j. Vamos usar a definição
Dvec uf(0,3)=nabla f(0,3)cdot vec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Primeiro as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y) =9x^2y - y, partial fpartial y(x,y) =3x^3 +8y - x
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nabla f(x,y)=l(9x^2y - y,;3x^3+8y - xr)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (0,3):
partial fpartial x(0,3)=9cdot0^2cdot3-3=-3, partial fpartial y(0,3)=3cdot0^3+8cdot3-0=24
Portanto
nabla f(0,3)=(-3,,24)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário vec u na direção de vec v=(1,1). O comprimento de vec v é
|vec v|=raiz1^2+1^2=raiz2,
então
vec u=vec v|vec v|=l(1raiz2,,1raiz2r)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
Dvec uf(0,3) =nabla f(0,3)cdotvec u =(-3,24)cdotl(1raiz2,1raiz2r) =-3+24raiz2 =21raiz2

Resposta

21raiz2

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