(2.5 pontos) Verifique se a seguinte função for contínua no ponto (0,0).
l f(x, y)=x y|x|+|y| ;(x, y) neq(0,0) f(x, y)=0 ;(x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,ylvert xrvert+lvert yrvert,&(x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para verificar se f é contínua em (0,0).
Para isso, precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
A ideia será encontrar um limite superior para lvert f(x,y)rvert que vá a zero junto com (x,y)to(0,0).]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos
llvert f(x,y)rrvert =lvert x,yrvertlvert xrvert+lvert yrvert =lvert xrvert,lvert yrvertlvert xrvert+lvert yrvert
Se lvert xrvert<=lvert yrvert então lvert xrvert+lvert yrvert>=lvert yrvert e
lvert xrvert,lvert yrvertlvert xrvert+lvert yrvert <=lvert xrvert,lvert yrvertlvert yrvert =lvert xrvert
Analogamente, se lvert yrvert<=lvert xrvert obtemos
llvert f(x,y)rrvert<=lvert yrvert
Portanto, de modo geral,
llvert f(x,y)rrvert<=minlvert xrvert,lvert yrvert

Passo 3

Para formalizar em termos de varepsilon- de<a: dado varepsilon>0, escolha
de<a=varepsilon
Se raizx^2+y^2<de<a então lvert xrvert<de<a e lvert yrvert<de<a, logo
llvert f(x,y)rrvert<=minlvert xrvert,lvert yrvert<de<a=varepsilon
Isso mostra que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0,
logo f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua no ponto (0,0).

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