(2.5 pontos) Verifique se a seguinte função for contínua no ponto
.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é contínua em
(0,0) .
Para isso, precisamos mostrar que
Para isso, precisamos mostrar que
A ideia será encontrar um limite superior para
lvert f(x,y)rvert que vá a zero junto com
(x,y)to(0,0) .]
Passo 2
Para
(x,y)neq(0,0) temos
Se
lvert xrvert<=lvert yrvert então
lvert xrvert+lvert yrvert>=lvert yrvert e
Analogamente, se
lvert yrvert<=lvert xrvert obtemos
Portanto, de modo geral,
Passo 3
Para formalizar em termos de
varepsilon -
de<a : dado
varepsilon>0 , escolha
Se
raizx^2+y^2<de<a então
lvert xrvert<de<a e
lvert yrvert<de<a , logo
Isso mostra que
logo
f é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
f é contínua no ponto
(0,0) .