(8 pontos) Admita duas variáveis aleatórias
e
tais que:
Admita ainda que:
e
. Pede-se:
a. (
pontos) O valor esperado de
ou
.
b. (3 pontos) A variância de
ou
.
c. (3 pontos) A covariância entre
e
ou
.
a. (
b. (3 pontos) A variância de
c. (3 pontos) A covariância entre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações dadas:
Definições das variáveis pedidas:
Perguntas do enunciado:
a. Calcular .
b. Calcular .
c. Calcular .
a. Calcular
b. Calcular
c. Calcular
Passo 2
Calcular
. Regra importante (explicação didática): a esperança é linear, ou seja, para quaisquer constantes
e variáveis
vale
Essa propriedade significa que posso “fazer sair” constantes para fora da esperança e somar as esperanças separadamente. Aplicando ao caso
(não há constante somada, então não precisa incluir termo extra):
Agora substituo os valores fornecidos:
e
. Assim,
Passo 3
Calcular
. Primeiro, lembrar a fórmula para variância de combinação linear de duas variáveis. Para
(onde
é constante), a constante não afeta a variância, e vale:
Explicação rápida: a variância mede dispersão em torno da média; multiplicar uma variável por
multiplica a variância por
; a covariância aparece por causa do termo cruzado quando desenvolvemos a expressão de
.
No nosso caso
temos
,
e a constante
que não contribui para a variância. Logo
Substituindo
,
e
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular
. Regra (explicação didática): a covariância é bilinear, ou seja, para constantes
Derivação curta: desenvolvendo
e usando
e
obtém-se a fórmula acima. Também, qualquer constante adicionada a um dos lados tem covariância zero com variáveis aleatórias, então podemos ignorar o
de
.
No problema,
e
. Ignorando a constante
em
, temos
,
,
,
. Aplicando a fórmula:
Agora substituo os valores:
,
,
. Calcule cada termo:
Somando os três termos:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)