(8 pontos) Admita duas variáveis aleatórias X e Y tais que:
E(X)=2 ; \quad V(X)=10 ; \quad E(Y)=4 ; \quad V(Y)=4 ; \quad \operatorname{COV}(X, Y)=-2
Admita ainda que: U=5 X+2 Y e W=X-3 Y+4. Pede-se:
a. ( \mathbf{2} pontos) O valor esperado de U ou E(U).
b. (3 pontos) A variância de W ou V(W).
c. (3 pontos) A covariância entre U e W ou C O V(U, W).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas. Informações dadas:
E(X)=2,\quad V(X)=10,\quad E(Y)=4,\quad V(Y)=4,\quad \operatorname{COV}(X,Y)=-2
Definições das variáveis pedidas:
U=5X+2Y,\qquad W=X-3Y+4
Perguntas do enunciado:
a. Calcular E(U).
b. Calcular V(W).
c. Calcular \operatorname{COV}(U,W).

Passo 2

Calcular E(U). Regra importante (explicação didática): a esperança é linear, ou seja, para quaisquer constantes a,b e variáveis X,Y vale
E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y).
Essa propriedade significa que posso “fazer sair” constantes para fora da esperança e somar as esperanças separadamente. Aplicando ao caso U=5X+2Y (não há constante somada, então não precisa incluir termo extra):
E(U)=5\,E(X)+2\,E(Y).
Agora substituo os valores fornecidos: E(X)=2 e E(Y)=4. Assim,
E(U)=5\cdot 2 + 2\cdot 4 = 10 + 8 = 18.

Passo 3

Calcular V(W). Primeiro, lembrar a fórmula para variância de combinação linear de duas variáveis. Para W=aX+bY+c (onde c é constante), a constante não afeta a variância, e vale:
V(aX+bY+c)=a^{2}V(X)+b^{2}V(Y)+2ab\,\operatorname{COV}(X,Y).
Explicação rápida: a variância mede dispersão em torno da média; multiplicar uma variável por a multiplica a variância por a^2; a covariância aparece por causa do termo cruzado quando desenvolvemos a expressão de V(aX+bY).
No nosso caso W=X-3Y+4 temos a=1, b=-3 e a constante 4 que não contribui para a variância. Logo
V(W)=1^{2}V(X)+(-3)^{2}V(Y)+2\cdot 1\cdot(-3)\,\operatorname{COV}(X,Y).
Substituindo V(X)=10, V(Y)=4 e \operatorname{COV}(X,Y)=-2:
V(W)=1\cdot 10 + 9\cdot 4 + 2\cdot(-3)\cdot(-2).
Calcule passo a passo:
1\cdot 10 = 10,\quad 9\cdot 4 = 36,\quad 2\cdot(-3)\cdot(-2)=12.
Somando:
V(W)=10+36+12=58.

Passo 4

Calcular \operatorname{COV}(U,W). Regra (explicação didática): a covariância é bilinear, ou seja, para constantes a,b,c,d
\operatorname{COV}(aX+bY,\;cX+dY)=ac\,V(X)+(ad+bc)\,\operatorname{COV}(X,Y)+bd\,V(Y).
Derivação curta: desenvolvendo \operatorname{COV}(aX+bY,cX+dY) e usando \operatorname{COV}(X,X)=V(X) e \operatorname{COV}(Y,X)=\operatorname{COV}(X,Y) obtém-se a fórmula acima. Também, qualquer constante adicionada a um dos lados tem covariância zero com variáveis aleatórias, então podemos ignorar o +4 de W.
No problema, U=5X+2Y e W=X-3Y+4. Ignorando a constante 4 em W, temos a=5, b=2, c=1, d=-3. Aplicando a fórmula:
\operatorname{COV}(U,W)=5\cdot 1\;V(X) + (5\cdot (-3) + 2\cdot 1)\;\operatorname{COV}(X,Y) + 2\cdot(-3)\;V(Y).
Agora substituo os valores: V(X)=10, V(Y)=4, \operatorname{COV}(X,Y)=-2. Calcule cada termo:
5\cdot 1\;V(X)=5\cdot 10 = 50,
2\cdot(-3)\;V(Y) = -6\cdot 4 = -24,
5\cdot(-3)+2\cdot 1 = -15 + 2 = -13,
(-13)\cdot \operatorname{COV}(X,Y) = (-13)\cdot(-2)=26.
Somando os três termos:
\operatorname{COV}(U,W)=50 - 24 + 26 = 52.

Resposta

(a) \,E(U)=18
(b) \,V(W)=58
(c) \,\operatorname{COV}(U,W)=52

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